10. Sınıf Gerçek Sayılarda Tanımlı Rasyonel Fonksiyonlar ve Nitel Özellikleri

Question

Bu konuda rasyonel fonksiyonların tanım kümesini bulurken hangi değerlerin paydayı sıfır yaptığını anlamakta zorlanıyorum. Ayrıca, bu fonksiyonların grafiğini çizerken simetri ve asimptot gibi özellikleri nasıl yorumlayacağımı tam olarak kavrayamadım.

Answer 1

Rasyonel Fonksiyon, iki polinomun birbirine oranı şeklinde yazılabilen fonksiyonlardır. Genel olarak aşağıdaki gibi ifade edilirler:

\( f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)} \)

Burada \( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinomdur ve \( Q(x) \neq 0 \) olmak zorundadır.

Tanım Kümesi (Tanım Aralığı)

Bir rasyonel fonksiyonun tanımlı olabilmesi için paydası sıfıra eşit olamaz. Bu nedenle, fonksiyonun tanım kümesi, paydayı sıfır yapan x değerleri hariç tüm gerçek sayılardır.

Örnek: \( f(x) = \dfrac{x+2}{x^2 - 4} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.

• Paydayı sıfır yapan değerler: \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = 2 \) ve \( x = -2 \)
• Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} - \{-2, 2\} \)

Düşey (Dikey) Asimptot

Paydayı sıfır yapan ve payı sıfır yapmayan x değerlerinde, fonksiyonun grafiği bu doğrulara yaklaşır ama asla kesişmez. Bu düşey doğrulara düşey asimptot denir.

Örnek: \( f(x) = \dfrac{1}{x-3} \) fonksiyonunda \( x = 3 \) bir düşey asimptottur.

Yatay Asimptot

Fonksiyonun \( x \) sonsuza veya eksi sonsuza giderken yaklaştığı y değeridir. Yatay asimptot bulmak için pay ve paydanın derecelerine bakılır.

• Payın derecesi < Paydanın derecesi: Yatay asimptot \( y = 0 \)'dır (x ekseni).
• Payın derecesi = Paydanın derecesi: Yatay asimptot, başkatsayıların oranına eşittir (\( y = \dfrac{a}{b} \)).
• Payın derecesi > Paydanın derecesi: Yatay asimptot yoktur (eğik veya eğri asimptot vardır).

Örnek: \( f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 4} \) fonksiyonunda her iki polinomun da derecesi 2'dir. Yatay asimptot \( y = \dfrac{2}{1} = 2 \) doğrusudur.

Köklere (Sıfırlara) Göre İşaret İncelemesi

Fonksiyonun işaretini (pozitif/negatif olduğu aralıkları) belirlemek için payın ve paydanın kökleri sayı doğrusuna yerleştirilir. Her aralıktan bir değer seçilip fonksiyonda yerine yazılarak işaret kontrol edilir.

Örnek: \( f(x) = \dfrac{(x-1)}{(x+2)(x-3)} \)

• Payın kökü: \( x = 1 \)
• Paydanın kökleri: \( x = -2 \), \( x = 3 \)

Bu köklerle oluşturulan aralıklarda fonksiyonun işareti incelenir.

Sadeleştirme ve Süreksizlik Noktaları

Pay ve paydada ortak bir çarpan varsa, fonksiyon sadeleştirilebilir. Bu durumda, sadeleşen çarpanın kökü, tanım kümesinden çıkarılmış olsa da, fonksiyon grafiğinde bu noktada bir boşluk (süreksizlik noktası) oluşur.

Örnek: \( f(x) = \dfrac{x^2 -