Bir üçgenin üç tane iç açısı vardır. Bu açıların ölçüleri toplamı her zaman sabittir.
İç Açılar Toplamı Kuralı: Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180°'dir.
Matematiksel olarak, bir üçgenin açıları \( \alpha \), \( \beta \) ve \( \gamma \) ise:
\( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \)
Bir üçgenin herhangi bir iç açısına komşu bütünler olan açıya dış açı denir. Bir üçgenin bir köşesinde iki dış açı oluşur, ancak genellikle biz bir tanesini (örneğin kenarın uzantısı üzerinde olanı) alırız. Her köşe için bir dış açı tanımlayabiliriz.
Dış Açı Kuralı: Bir dış açının ölçüsü, kendisine komşu olmayan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
Örneğin, bir üçgende \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) iç açıları olsun. \( \alpha \) açısının komşusu olan dış açı \( \alpha' \) olsun.
\( \alpha' = \beta + \gamma \)
Bir üçgenin her bir köşesinden birer dış açı alındığında, bu üç dış açının ölçüleri toplamı 360°'dir.
\( \alpha' + \beta' + \gamma' = 360^\circ \)
Bir iç açı ile ona komşu olan bir dış açı, doğru açı oluşturdukları için toplamları 180°'dir. Yani birbirlerinin bütünleridirler.
\( \alpha + \alpha' = 180^\circ \)
\( \beta + \beta' = 180^\circ \)
\( \gamma + \gamma' = 180^\circ \)
Bu üç eşitliği taraf tarafa toplarsak:
\( (\alpha + \beta + \gamma) + (\alpha' + \beta' + \gamma') = 180^\circ + 180^\circ + 180^\circ \)
\( 180^\circ + (\alpha' + \beta' + \gamma') = 540^\circ \)
\( \alpha' + \beta' + \gamma' = 540^\circ - 180^\circ = 360^\circ \) (Dış açılar toplamını da bu şekilde ispatlamış olduk)
Soru 1: Bir ABC üçgeninde, A köşesindeki iç açının ölçüsü 60°'dir. Aynı köşedeki dış açının ölçüsü kaç derecedir?
a) 30° b) 60° c) 120° d) 240° e) 300°
Cevap: c) 120°
Çözüm: Bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir, yani toplamları 180°'dir. Buna göre, 180° - 60° = 120° olur.
Soru 2: Bir üçgenin iki dış açısının ölçüleri sırasıyla 110° ve 135° olduğuna göre, bu dış açılara komşu olmayan iç açının ölçüsü kaç derecedir?
a) 35° b) 55° c) 70° d) 85° e) 95°
Cevap: b) 55°
Çözüm: Bir üçgende iki dış açının toplamı, bu açılara komşu olmayan iç açının ölçüsüne eşittir. Bu kurala göre, 110° + 135° = 245° değil, kural gereği 110° + 135° = 245° bulunur. Ancak bu, bir iç açıdan büyük olduğu için hata yapılmış olabilir. Doğrusu: Verilen iki dış açıya komşu olan iç açılar: 180° - 110° = 70° ve 180° - 135° = 45°. Üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan, üçüncü iç açı: 180° - (70° + 45°) = 180° - 115° = 65° olur. Ancak soru "komşu olmayan iç açı"yı soruyor. 110° dış açısına komşu olmayan iç açı, 135° dış açısının komşu olduğu iç açıdır (45°). Bu da seçeneklerde yok. Kuralı doğru uygulayalım: İki dış açının toplamı, üçüncü dış açıya komşu olan iç açıya eşittir. 110° + 135° = 245°, bu bir iç açı olamaz. Soruda hata var gibi. Doğru kural: Bir üçgende bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Soruyu bu kurala göre çözelim: Verilen iki dış açıya komşu olmayan iç açı, üçüncü köşedeki iç açıdır. 110° dış açısı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır. Aynı şekilde 135° de. Ancak soruda istenen, bu iki dış açıya komşu olmayan iç açıdır. Bu iç açıyı bulmak için: Üçgenin tüm dış açıları toplamı 360°'dir. Üçüncü dış açı = 360° - (110° + 135°) = 115°. Bu dış açının komşusu olan iç açı ise 180° - 115° = 65° olur. Bu seçeneklerde yok. Soru ve seçenekler kontrol edilmeli. Muhtemelen soru: "bu dış açılara komşu olmayan iç açı" ifadesiyle, bu iki dış açının ölçüleri toplamının, üçüncü iç açıya eşit olduğu kuralı kastedilmiştir. Yani 110° + 135° = 245° ≠ bir iç açı. Burada bir yanlışlık var. Öğretmenler için not: Bu soru müfredat dışı veya hatalı olabilir. Öğrenciler için düzeltilmiş hali: Bir üçgenin iki dış açısı 110° ve 135° ise, bu açıların toplamı (245°) bir iç açıya eşit olamayacağı için soru hatalıdır. Lüt
