Gerçek sayı aralıkları, belirli bir sayı kümesinin alt ve üst sınırlarıyla ifade edilir. Bu aralıklar kapalı aralık, açık aralık veya yarı açık aralık şeklinde olabilir.
Sonsuzluk (\(\infty\)) kullanılarak sınırsız aralıklar tanımlanabilir:
Kümelerde olduğu gibi aralıklarda da kesişim (\(\cap\)), birleşim (\(\cup\)) ve fark (\)) işlemleri yapılabilir.
İki aralığın ortak elemanlarını verir.
İki aralığın tüm elemanlarını birleştirir.
Bir aralığın diğerinde olmayan elemanlarını verir.
Soru 1: \( A = [2, 5) \) ve \( B = (3, 7] \) kümeleri veriliyor. \( A \cap B \) kümesinin gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \([2, 7]\)
b) \((3, 5)\)
c) \([3, 5)\)
d) \((2, 7]\)
e) \([2, 5]\)
Cevap: c) \([3, 5)\)
Çözüm: \( A \cap B \), her iki kümede de ortak olan elemanları içerir. \( A \)'da 3 dahil değilken \( B \)'de 3 dahil değildir (ancak 3'ten büyük değerler kesişir). 5 ise \( A \)'da dahil değil, \( B \)'de dahildir. Bu nedenle kesişim aralığı \([3, 5)\) olur.
Soru 2: \( C = (-\infty, 4] \) ve \( D = [1, 6) \) kümeleri veriliyor. \( C \cup D \) kümesinin gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \((-\infty, 6)\)
b) \([1, 4]\)
c) \((-\infty, 6]\)
d) \([-1, 6)\)
e) \((-\infty, \infty)\)
Cevap: a) \((-\infty, 6)\)
Çözüm: Birleşim kümesi, her iki kümenin tüm elemanlarını kapsar. \( C \)'de 4 dahilken \( D \)'de 6 dahil değildir. En geniş aralık \(-\infty\)'dan başlayıp 6'ya kadar (6 hariç) devam eder.
1. \( (2, 5] \) aralığında bulunan en küçük tam sayı ____, en büyük tam sayı ____'dir.
2. \( A = [-3, 4) \) ve \( B = (1, 6] \) kümeleri verildiğinde, \( A \cap B \) kümesinin aralık gösterimi ____ şeklindedir.
3. \( (-\infty, 0) \cup [2, \infty) \) kümesinin eşitsizlik gösterimi ____ şeklindedir.
1. ____ \( [2, 4) \) aralığına karşılık gelir.
2. ____ \( [3, \infty) \) aralığına karşılık gelir.
1. \( (3, 7] \cup [7, 9) = (3, 9) \) ifadesi doğrudur. (D/Y)
2. \( [-1, 4) \cap (2, 5] = (2, 4) \) ifadesi yanlıştır. (D/Y)
3. \( (-\infty, 0) \) kümesi negatif gerçek sayıları içerir. (D/Y)
1. \( A = [-2, 3) \) ve \( B = (1, 5] \) kümeleri verildiğinde, \( A \setminus B \) kümesini aralık gösterimiyle yazınız.
2. \( \{x \mid -1 < x \leq 4\} \) kümesini parantez ve köşeli parantez kullanarak gösteriniz.
1. \( (-\infty, 2) \cup [2, \infty) \) kümesinin eşdeğeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \emptyset \) b) \( \mathbb{R} \) c) \( \{2\} \) d) \( (-\infty, \infty) \)
2. \( [0, 3] \cap (1, 4) \) işleminin sonucu nedir?
a) \( (1, 3] \) b) \( [0, 4) \) c) \( [1, 3] \) d) \( (1, 3) \)
Cevaplar:
1: 3, 5
2: (1, 4)
3: \( x < 0 \) veya \( x \geq 2 \)
1: D
2: C
1: D
2: D
3: D
1: \( [-2, 1] \)
2: \( (-1, 4] \)
1: b
2: a
Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi \([-3, 5)\) aralığının küme gösterimi ile aynı anlama gelir?
a) \(\{x \in \mathbb{R} \mid -3 \leq x \leq 5\}\)
b) \(\{x \in \mathbb{R} \mid -3 < x \leq 5\}\)
c) \(\{x \in \mathbb{R} \mid -3 \leq x < 5\}\)
d) \(\{x \in \mathbb{R} \mid -3 < x < 5\}\)
e) \(\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -3 \text{ veya } x < 5\}\)
Cevap: c)
Çözüm: Köşeli parantez \([\) kapalı aralığı (eşitlik dahil), yuvarlak parantez \()\) açık aralığı (eşitlik hariç) gösterir. \([-3, 5)\) aralığı \(-3 \leq x < 5\) anlamına gelir.
Soru 2: \(A = (-\infty, 2]\) ve \(B = (1, 4)\) kümeleri veriliyor. \(A \cap B\) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \((1, 2]\)
b) \([1, 4)\)
c) \((-\infty, 4)\)
d) \((2, 4)\)
e) \((-\infty, 1]\)
Cevap: a)
Çözüm: Kesişim kümesi, her iki kümede de bulunan elemanlardan oluşur. \(A\)'da \(x \leq 2\), \(B\)'de \(1 < x < 4\) olduğundan ortak aralık \(1 < x \leq 2\) yani \((1, 2]\)'dir.
Soru 3: \([-1, 3] \cup (2, 5)\) kümesinin en sade gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \([-1, 5)\)
b) \([-1, 5]\)
c) \((-1, 5)\)
d) \([-1, 3]\)
e) \((2, 5)\)
Cevap: a)
Çözüm: Birleşim işlemi sonucunda \([-1, 3]\) ve \((2, 5)\) aralıkları birleşerek \([-1, 5)\) aralığını oluşturur. \(3\) ile \(2\) arasında kesişim olduğu için tüm elemanlar kapsanır.
Soru 4: \(C = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 0 \text{ veya } x \geq 4\}\) kümesinin aralık gösterimi nedir?
a) \((-\infty, 0) \cup [4, \infty)\)
b) \((-\infty, 0] \cup (4, \infty)\)
c) \((-\infty, 4) \cup [0, \infty)\)
d) \([0, 4)\)
e) \((0, 4]\)
Cevap: a)
Çözüm: "Veya" ifadesi birleşim anlamına gelir. \(x < 0\) için \((-\infty, 0)\), \(x \geq 4\) için \([4, \infty)\) aralıkları birleştirilir.
