Karekök Fonksiyonu Nedir?
Gerçek sayılarda tanımlı karekök fonksiyonu, bir sayının negatif olmayan karekökünü veren fonksiyondur. Fonksiyon, \( f: \mathbb{R}^{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}^{\geq 0} \) şeklinde tanımlanır ve \( f(x) = \sqrt{x} \) veya \( f(x) = \sqrt[2]{x} \) olarak gösterilir.
Tanım ve Görüntü Kümesi
- Tanım Kümesi: Karekökün içi (\( x \)) negatif olamayacağı için tanım kümesi [0, ∞)'dur. Yani, \( x \geq 0 \).
- Görüntü Kümesi (Değer Kümesi): Bir sayının karekökü her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Bu nedenle görüntü kümesi de [0, ∞)'dur. Yani, \( f(x) \geq 0 \).
Nitel Özellikleri
- Artandır: Karekök fonksiyonu, tanım aralığının tamamında (x ≥ 0) artan bir fonksiyondur. \( x \) değeri arttıkça \( \sqrt{x} \) değeri de artar.
- Bire Birdir: Tanım kümesindeki her farklı \( x \) değeri, görüntü kümesinde farklı bir \( y \) değerine gider. Bu yüzden karekök fonksiyonu bire birdir.
- Örten Değildir: Görüntü kümesi [0, ∞) olduğu için tüm reel sayıları kapsamaz. Negatif sayılar görüntü kümesinde olmadığından fonksiyon örten değildir.
- Grafiği: Koordinat sisteminde (0,0) noktasından başlayan ve sağa doğru yayılan bir eğridir. Bu eğriye "kök parabolu" da denir.
Örnekler ve Grafik Yorumu
Fonksiyonun bazı noktalardaki değerlerini inceleyelim:
- \( f(0) = \sqrt{0} = 0 \)
- \( f(1) = \sqrt{1} = 1 \)
- \( f(4) = \sqrt{4} = 2 \)
- \( f(9) = \sqrt{9} = 3 \)
Bu noktaları (0,0), (1,1), (4,2), (9,3) koordinatlarıyla işaretlediğimizde grafiğin nasıl arttığını ve eğiminin giderek azaldığını gözlemleyebiliriz.
Önemli Uyarı
\( x^2 = 9 \) denkleminin çözümü \( x = 3 \) ve \( x = -3 \) olmasına rağmen, \( \sqrt{9} \) ifadesinin değeri sadece 3'tür. Karekök fonksiyonu, sonucu her zaman negatif olmayan sayı olacak şekilde tanımlanmıştır.
