10. Sınıf Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Question

Sinüs teoremi ile kosinüs teoremi arasındaki farkı ve hangi sorularda hangisini kullanmam gerektiğini tam olarak karıştırıyorum. Formülleri görünce aklım bir karış havada kalıyor, hangi kenarı nereye yazacağımı şaşırıyorum. Özellikle soruda iki açı bir kenar verildiğinde hangi teoremi seçeceğimi bilemiyorum.

Answer 1

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

Üçgenlerle ilgili problemleri çözerken bazen Pisagor teoremi veya temel trigonometrik oranlar (sinüs, kosinüs) yeterli olmayabilir. Özellikle dik üçgen olmayan üçgenlerde (dar açılı veya geniş açılı üçgenler) kenar uzunluklarını ve açı ölçülerini bulmak için Sinüs Teoremi ve Kosinüs Teoremini kullanırız.

1. Sinüs Teoremi

Bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri orantılıdır. Yani bir ABC üçgeninde:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

Burada;

• a, b, c üçgenin kenar uzunluklarıdır.
• A, B, C kenarların karşısındaki açılardır.
• R ise üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır.

Bu teoremi, iki açısı ve bir kenarı bilinen üçgenlerde diğer kenarları bulmak için veya iki kenarı ve bir açısı bilinen üçgenlerde (bilinen açı, bilinen kenarlardan birinin karşısında ise) diğer açıyı bulmak için kullanırız.

2. Kosinüs Teoremi

Bir üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu iki kenarın çarpımı ile aralarındaki açının kosinüsünün iki katının çıkarılmasına eşittir. Kosinüs teoreminin üç formülü vardır:

• \( a^2 = b^2 + c^2 - 2 \cdot b \cdot c \cdot \cos A \)
• \( b^2 = a^2 + c^2 - 2 \cdot a \cdot c \cdot \cos B \)
• \( c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos C \)

Bu teoremi, iki kenarı ve aralarındaki açı verilen bir üçgende bilinmeyen kenarı bulmak için kullanırız. Aynı zamanda, üç kenar uzunluğu da bilinen bir üçgenin açılarını bulmada da kullanılabilir.

Önemli Not: Eğer A açısı 90° olursa, cos90°=0 olduğu için formül \( a^2 = b^2 + c^2 \) şekline dönüşür. Bu, Pisagor Teoremidir. Kosinüs teoremi, Pisagor teoreminin genişletilmiş halidir.

Hangi Durumda Hangi Teorem Kullanılır?

• Sinüs Teoremi: İki açı-bir kenar (A-A-K) veya iki kenar ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açı (K-K-A) verildiğinde kullanışlıdır.
• Kosinüs Teoremi: İki kenar ve aralarındaki açı (K-A-K) veya üç kenar (K-K-K) verildiğinde kullanışlıdır.

Answer 2

10. Sınıf Sinüs ve Kosinüs Teoremleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve m(∠A) = 60° dir. Buna göre |BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 2√7   b) 2√13   c) 4√3   d) 2√19   e) 10
Cevap: a) 2√7
Çözüm: Verilen iki kenar ve aralarındaki açı bilindiği için Kosinüs Teoremi uygulanır. |BC|² = 8² + 6² - 2·8·6·cos60° = 64 + 36 - 96·(1/2) = 100 - 48 = 52. |BC| = √52 = 2√13 cm olur.

Soru 2: Kenar uzunlukları 7 cm, 8 cm ve 9 cm olan bir üçgenin en büyük açısının ölçüsü kaç derecedir?
a) 60   b) 73,4   c) 80,2   d) 95,5   e) 120
Cevap: b) 73,4°
Çözüm: En büyük açı, en uzun kenarın karşısındaki açıdır (9 cm). Kosinüs Teoremi ile bu açıya (α) diyelim: 9² = 7² + 8² - 2·7·8·cosα → 81 = 49 + 64 - 112·cosα → 81 = 113 - 112·cosα → 112·cosα = 32 → cosα = 32/112 = 2/7 ≈ 0.2857. α = arccos(2/7) ≈ 73,4° bulunur.

Soru 3: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 30°, m(∠B) = 45° ve |AC| = 6√2 cm'dir. Buna göre |BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?
a) 6   b) 8   c) 10   d) 12   e) 6√2
Cevap: a) 6
Çözüm: İki açı ve bir kenar verildiği için Sinüs Teoremi uygulanır. Önce m(∠C) = 180° - (30°+45°) = 105° bulunur. Sinüs Teoremi: |BC|/sinA = |AC|/sinB → |BC|/sin30° = 6√2/sin45° → |BC|/(1/2) = 6√2/(√2/2) → |BC|/(1/2) = 6√2 * (2/√2) → |BC|/(1/2) = 12 → |BC| = 12 * (1/2) = 6 cm.

Soru 4: Bir ABC üçgeninde sinA / 4 = sinB / 5 = sinC / 6 oranı veriliyor. Buna göre bu üçgenin çevre uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) 15   b) 20   c) 25   d) 30   e) 40
Cevap: d) 30
Çözüm: Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgende kenar uzunlukları karşılarındaki açıların sinüsleri ile doğru orantılıdır: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R. Verilen orandan, a=4k, b=5k, c=6k (k>0) yazılabilir. Bir üçgenin kenar uzunlukları için üçgen eşitsizliği şartları sağlanmalıdır: 4k + 5k > 6k → 9k>6k (Doğru), 4k+6k>5k, 5k+6k>4k. Çevre = 4k+5k+6k = 15k'dır. Seçeneklerden 15k=30 için k=2 bulunur ve bu değer eşitsizlikleri sağlar.