Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Aralıklarla Gösterimi

Question

Mutlak değerli eşitsizliklerde çözüm aralığını bulurken hangi değerlerin dahil olduğunu karıştırıyorum. Özellikle eşitsizlik işaretinin yönüne göre aralıkların nasıl yazılacağını tam anlayamadım. Bir de aralıkları sayı doğrusunda gösterirken noktanın içi dolu mu boş mu olacak, onu sık sık karıştırıyorum.

Answer 1

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Aralıklarla Gösterimi

Mutlak değerli eşitsizlikler, matematikte sıkça karşılaşılan ve çözüm aralıklarının belirlenmesi gereken problemlerdir. Bu tür eşitsizliklerin çözümü, mutlak değerin tanımına dayanır ve genellikle aralık gösterimi ile ifade edilir.

1. Temel Tanım ve Özellikler

Bir \( x \) reel sayısının mutlak değeri (\( |x| \)), sayının sayı doğrusundaki sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü için aşağıdaki temel kurallar kullanılır:

• \( |x| < a \): Bu eşitsizlik, \( -a < x < a \) şeklinde yazılabilir. Çözüm aralığı \( (-a, a) \)'dır.
• \( |x| \leq a \): Çözüm aralığı \( [-a, a] \) olarak gösterilir.
• \( |x| > a \): Bu durumda \( x < -a \) veya \( x > a \) olur. Çözüm aralığı \( (-\infty, -a) \cup (a, \infty) \) şeklinde yazılır.
• \( |x| \geq a \): Çözüm aralığı \( (-\infty, -a] \cup [a, \infty) \) olarak ifade edilir.

2. Örneklerle Açıklama

Örnek 1: \( |2x - 3| < 5 \) eşitsizliğini çözün.

• Mutlak değer tanımına göre: \( -5 < 2x - 3 < 5 \)
• Her tarafa 3 ekleyelim: \( -2 < 2x < 8 \)
• 2'ye bölelim: \( -1 < x < 4 \)

Çözüm aralığı: \( (-1, 4) \)

Örnek 2: \( |x + 4| \geq 2 \) eşitsizliğini çözün.

• Mutlak değer tanımına göre: \( x + 4 \leq -2 \) veya \( x + 4 \geq 2 \)
• Her iki durumu ayrı ayrı çözelim:
• \( x + 4 \leq -2 \Rightarrow x \leq -6 \)
• \( x + 4 \geq 2 \Rightarrow x \geq -2 \)

Çözüm aralığı: \( (-\infty, -6] \cup [-2, \infty) \)

3. Aralık Gösterimi Kuralları

Aralık gösteriminde:

• Parantez \( ( \) veya \( ) \): Uç nokta dahil değilse kullanılır.
• Köşeli parantez \( [ \) veya \( ] \): Uç nokta dahilse kullanılır.
• \( \cup \): Birleşim kümesini ifade eder.

Not: Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümünde, eşitsizliğin yönüne ve mutlak değerin içindeki ifadenin işaretine dikkat edilmelidir.

Answer 2

Mutlak Değerli Eşitsizliklerin Aralıklarla Gösterimi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( |2x - 6| \leq 10 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir?
a) \( (-\infty, -2] \)
b) \( [-2, 8] \)
c) \( [8, \infty) \)
d) \( (-\infty, -8] \cup [2, \infty) \)
e) \( (-\infty, -8] \cup [8, \infty) \)
Cevap: b) \( [-2, 8] \)
Çözüm: \( |2x - 6| \leq 10 \) eşitsizliği, \( -10 \leq 2x - 6 \leq 10 \) şeklinde yazılır. Her tarafa 6 ekleyip 2'ye bölersek \( -2 \leq x \leq 8 \) aralığı bulunur.

Soru 2: \( |3x + 9| > 15 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (-8, 2) \)
b) \( (-\infty, -8) \cup (2, \infty) \)
c) \( [-8, 2] \)
d) \( (-\infty, -2] \cup [8, \infty) \)
e) \( (2, 8) \)
Cevap: b) \( (-\infty, -8) \cup (2, \infty) \)
Çözüm: \( |3x + 9| > 15 \) eşitsizliği, \( 3x + 9 < -15 \) veya \( 3x + 9 > 15 \) şeklinde çözülür. \( x < -8 \) veya \( x > 2 \) aralıkları elde edilir.

Soru 3: \( |5 - x| \geq 7 \) eşitsizliğini sağlayan en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( [-2, 12] \)
b) \( (-\infty, -2] \cup [12, \infty) \)
c) \( (-12, 2) \)
d) \( (-\infty, 2] \cup [12, \infty) \)
e) \( (2, 12) \)
Cevap: b) \( (-\infty, -2] \cup [12, \infty) \)
Çözüm: \( |5 - x| \geq 7 \) eşitsizliği, \( 5 - x \leq -7 \) veya \( 5 - x \geq 7 \) şeklinde çözülür. \( x \geq 12 \) veya \( x \leq -2 \) aralıkları bulunur.