EKOK nedir (En Küçük Ortak Kat)

Question

Özellikle kesirlerdeki işlemlerde karşıma çıkıyor ve hangi sayıyı bulmam gerektiğini karıştırıyorum. İki veya daha fazla sayının ortak katlarından en küçüğüne EKOK denildiğini biliyorum ama pratikte nasıl hesaplandığını tam oturtamadım. Örneğin 4 ve 6'nın EKOK'unun 24 olduğunu bulabiliyorum, ancak sayılar büyüdüğünde yöntemde takılıyorum.

Answer 1

📚 EKOK (En Küçük Ortak Kat) Nedir?

İki veya daha fazla pozitif tam sayının ortak katlarından en küçüğüne bu sayıların EKOK'u denir. Başka bir deyişle, her sayıya kalansız bölünebilen en küçük pozitif tam sayıdır. EKOK, İngilizce'deki "LCM" (Least Common Multiple) ifadesine karşılık gelir.

🎯 EKOK Nasıl Hesaplanır?

EKOK'u hesaplamanın birkaç yaygın yöntemi vardır.

➡️ 1. Yöntem: Ortak Katlar Listeleme

Sayıların katlarını yazarak ortak olanları bulabilirsiniz. En küçük ortak kat, EKOK'tur.

Örnek: 4 ve 6'nın EKOK'unu bulalım.

• 💠 4'ün katları: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...
• 💠 6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30...

Ortak katlar: 12, 24... Bu durumda en küçük ortak kat 12'dir. Yani EKOK(4, 6) = 12.

➡️ 2. Yöntem: Asal Çarpanlara Ayırma (En Etkili Yöntem)

Bu yöntemde sayılar asal çarpanlarına ayrılır. Tüm asal çarpanlardan, en büyük üslü olanlar alınarak çarpılır.

Örnek: 12 ve 18'in EKOK'unu bulalım.

• 📌 12'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 12 = 2^2 \times 3 \)
• 📌 18'i asal çarpanlarına ayıralım: \( 18 = 2 \times 3^2 \)

Şimdi tüm asal çarpanları (2 ve 3) alıyoruz ve her çarpandan en büyük üslü olanı seçiyoruz:

• ✅ 2 çarpanı için: \( 2^2 \) (12'den geliyor)
• ✅ 3 çarpanı için: \( 3^2 \) (18'den geliyor)

Bunları çarparak EKOK'u buluruz:
\( EKOK(12, 18) = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 \)

➡️ 3. Yöntem: Formül Kullanma

İki sayının EBOB'u (En Büyük Ortak Bölen) biliniyorsa, EKOK'u bulmak için pratik bir formül kullanılabilir:

\( \text{EKOK}(a, b) = \frac{a \times b}{\text{EBOB}(a, b)} \)

Örnek: 8 ve 12'nin EKOK'unu bulalım.

• 💡 Önce EBOB'u buluruz: EBOB(8, 12) = 4
• 💡 Sonra formülü uygularız: \( \text{EKOK}(8, 12) = \frac{8 \times 12}{4} = \frac{96}{4} = 24 \)

🧩 EKOK Nerelerde Kullanılır?

• 🕒 Zaman Problemleri: İki farklı otobüs hattının aynı duraktan sırasıyla 15 ve 20 dakikada bir kalktığını düşünelim. Her iki otobüsün tekrar aynı anda bu duraktan ne zaman kalkacağını bulmak için EKOK(15, 20) = 60 dakika hesaplanır.
• 🧱 Döşeme ve Paketleme Problemleri: Farklı uzunluktaki çubukları veya farklı boyutlardaki kutuları, hiç artmayacak şekilde eşit parçalara bölmek için kullanılır.
• ➗ Kesirlerde İşlemler: Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşitlenmesi gerekir. Bu payda genellikle paydaların EKOK'u olarak seçilir.

💎 Özetle: EKOK, birden fazla sayının "ortak dilini" bulmamızı sağlayan, onları birleştiren ve problem çözmede bize kolaylık sağlayan önemli bir matematiksel kavramdır.