12. Sınıf Türev Alma Kuralları: Çarpımın ve Bölümün Türevi

Question

Bu iki kuralı birbirine karıştırıyorum ve hangi durumda hangi formülü kullanacağımı şaşırıyorum. Özellikle bölümün türevinde paydayı nereye yazacağımı ve işaretleri unutuyorum. Formülleri ezberlemek yerine mantığını anlamaya çalışıyorum ama zorlanıyorum.

Answer 1

🧮 12. Sınıf Türev Alma Kuralları: Çarpımın ve Bölümün Türevi

Merhaba! Bu ders notumuzda, türev alma konusunun en önemli kurallarından ikisini, Çarpımın Türevi ve Bölümün Türevi kurallarını detaylı bir şekilde öğreneceğiz. Bu kurallar, birbirleriyle çarpım veya bölüm şeklinde verilmiş fonksiyonların türevlerini alabilmemiz için hayati öneme sahiptir.

📌 Hatırlatma: Türevin Temel Tanımı

Bir \( f(x) \) fonksiyonunun \( a \) noktasındaki türevi, fonksiyonun o noktadaki anlık değişim hızını verir ve aşağıdaki limit ile tanımlanır:

\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

Ancak, her seferinde bu limiti hesaplamak pratik değildir. Bu yüzden türev alma kurallarını kullanırız.

✨ 1. Çarpımın Türevi Kuralı (Product Rule)

İki fonksiyonun çarpım şeklinde yazıldığı durumlarda türev almak için bu kuralı kullanırız. Kural şu şekildedir:

\( f \) ve \( g \), \( x \)'e bağlı türevlenebilir iki fonksiyon olsun. Bu durumda bunların çarpımının türevi:

\[ (f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]

🧠 Kuralın Mantığı ve Ezber Yöntemi:

"Birincinin türevi çarpı ikinci" + "Birinci çarpı ikincinin türevi"

📝 Örnek Soru 1:

\( h(x) = (x^2 + 1) \cdot (3x - 5) \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm:

• \( f(x) = x^2 + 1 \) → \( f'(x) = 2x \)
• \( g(x) = 3x - 5 \) → \( g'(x) = 3 \)

Çarpım kuralını uygulayalım:

\[ h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) \]

\[ h'(x) = (2x) \cdot (3x - 5) + (x^2 + 1) \cdot (3) \]

\[ h'(x) = 6x^2 - 10x + 3x^2 + 3 \]

\[ h'(x) = 9x^2 - 10x + 3 \]

➗ 2. Bölümün Türevi Kuralı (Quotient Rule)

İki fonksiyonun bölümü şeklinde verilen ifadelerin türevini almak için bu kuralı kullanırız. Kural şu şekildedir:

\( f \) ve \( g \), \( x \)'e bağlı türevlenebilir iki fonksiyon ve \( g(x) \neq 0 \) olsun. Bu durumda bunların bölümünün türevi:

\[ \left( \frac{f}{g} \right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]

🧠 Kuralın Mantığı ve Ezber Yöntemi:

"Paydan türevi çarpı payda, eksi pay çarpı paydan türevi, bölü paydanın karesi" şeklinde ezberleyebilirsiniz. İşlem sırası çok önemlidir!

📝 Örnek Soru 2:

\( k(x) = \frac{x^2 + 1}{2x - 1} \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm:

• \( f(x) = x^2 + 1 \) → \( f'(x) = 2x \)
• \( g(x) = 2x - 1 \) → \( g'(x) = 2 \)

Bölüm kuralını uygulayalım:

\[ k'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \]

\[ k'(x) = \frac{(2x) \cdot (2x - 1) - (x^2 + 1) \cdot (2)}{(2x - 1)^2} \]

Pay kısmını açalım:

\[ = \frac{(4x^2 - 2x) - (2x^2 + 2)}{(2x - 1)^2} \]

\[ = \frac{4x^2 - 2x - 2x^2 - 2}{(2x - 1)^2} \]

\[ k'(x) = \frac{2x^2 - 2x - 2}{(2x - 1)^2} \]

İstersek payı 2'ye sadeleştirebiliriz:

\[ k'(x) = \frac{2(x^2 - x - 1)}{(2x - 1)^2} \]

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• 🔸 Çarpım kuralında toplamın sırası önemli değildir, sonuç değişmez.
• 🔸 Bölüm kuralında işlem sırası ve işaretler (-) çok önemlidir. Yanlış sırada yaparsanız sonuç hatalı olur.
• 🔸 Paydanın sıfır olmadığı noktalarda türev alınabileceğini unutmayın.
• 🔸 İşlemlerin sonunda sadeleştirme yapmayı ihmal etmeyin.

🎯 Özet

• Çarpım Kuralı: \( (f \cdot g)' = f'g + fg' \)
• Bölüm Kuralı: \( \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \)

Bu kuralları iyice özümsemek ve bol bol pratik yapmak, türev konusundaki başarınızı büyük ölçüde artıracaktır. Bir sonraki derste zincir kuralı ile devam edeceğiz. Çalışmalarınızda başarılar! ✨