sin(x) fonksiyonunun türevi

Question

Sin(x) fonksiyonunun türevini bulurken hangi kuralı kullanmam gerektiğini karıştırıyorum. Limitten mi yoksa başka bir yöntemle mi türev alınır, tam emin olamadım.

Answer 1

📈 sin(x) Fonksiyonunun Türevi

Trigonometrik fonksiyonların türevleri, matematikte özellikle fizik ve mühendislik problemlerinde sıkça karşımıza çıkar. Bu konuda en temel fonksiyonlardan biri olan sinüs fonksiyonunun türevini inceleyeceğiz.

🎯 Türevin Tanımı ile İspat

Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun herhangi bir noktadaki anlık değişim oranını verir. Sinüs fonksiyonunun türevini, limit tanımını kullanarak bulabiliriz:

Türev tanımı: \( f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \)

Bu formülü \( f(x) = \sin(x) \) fonksiyonuna uygularsak:

\( \frac{d}{dx}\sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} \)

Trigonometriden bildiğimiz toplam formülünü kullanırsak: \( \sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) \)

Yerine koyduğumuzda:

\( \frac{d}{dx}\sin(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h} \)

\( = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h) - 1) + \cos(x)\sin(h)}{h} \)

\( = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} \)

Trigonometrik limitlerden bildiğimiz iki önemli sonuç vardır:

• 🌟 \( \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1 \)
• 🌟 \( \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} = 0 \)

Bu limit değerlerini yerine koyduğumuzda:

\( \frac{d}{dx}\sin(x) = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x) \)

✅ Sonuç

sin(x) fonksiyonunun türevi cos(x)'tir.

Matematiksel gösterimle: \( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \)

📝 Örnekler

• ➡️ \( f(x) = \sin(x) \) ise \( f'(x) = \cos(x) \)
• ➡️ \( f(x) = \sin(2x) \) ise zincir kuralı ile \( f'(x) = 2\cos(2x) \)
• ➡️ \( f(x) = x^2\sin(x) \) ise çarpım kuralı ile \( f'(x) = 2x\sin(x) + x^2\cos(x) \)

💡 Hatırlatma

Sinüs fonksiyonunun türevinin kosinüs olduğunu unutmayın! Bu, trigonometrik fonksiyonların türevleri arasında en temel ve en önemli olanlardan biridir.