Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine kalansız bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır.
Örneğin:
En küçük asal sayı 2'dir. 2 aynı zamanda çift olan tek asal sayıdır. 100'e kadar olan asal sayılar şunlardır:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Bir sayıyı, çarpımları kendisini veren asal sayılara ayırmaya asal çarpanlara ayırma denir. Bunun için en kolay yöntem "Bölen Listesi" yöntemidir.
Bu yöntemde, sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak sürekli böleriz. İşlem, bölüm 1 olana kadar devam eder.
Örnek: 72'yi asal çarpanlarına ayıralım.
Bölüm 1 olduğu için işlemimiz bitti. Sağ taraftaki bölenleri çarparak asal çarpanları buluruz.
72'nin asal çarpanları: 2 ve 3'tür.
72'yi bu asal çarpanların çarpımı şeklinde şöyle yazarız:
\(72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3\)
Bunu üslü ifade olarak da yazabiliriz:
\(72 = 2^3 \times 3^2\)
100'ün asal çarpanları: 2 ve 5'tir.
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5\)
\(100 = 2^2 \times 5^2\)
Önemli Not: Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmanın sonucu, hangi yöntemle yaparsanız yapın, her zaman aynıdır.
Soru 1: Bir çiftçi, bahçesindeki 42 elma ağacını ve 30 armut ağacını, her sırada eşit sayıda ve aynı türden ağaç olacak şekilde dikmek istiyor. Bu çiftçi bir sıraya en fazla kaç ağaç dikebilir?
a) 2
b) 3
c) 6
d) 7
Cevap: c) 6
Çözüm: Her sırada eşit sayıda ağaç olması için 42 ve 30'un ortak bölenlerinden en büyüğü (EBOB) bulunmalıdır. 42'nin asal çarpanları: 2 × 3 × 7; 30'un asal çarpanları: 2 × 3 × 5. Ortak asal çarpanlar 2 ve 3'tür. EBOB(42,30) = 2 × 3 = 6'dır.
Soru 2: Bir marangoz, boyutları 48 cm ve 60 cm olan dikdörtgen şeklindeki tahtayı, kare şeklinde eş parçalara bölmek istiyor. Bu parçalardan birinin bir kenar uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?
a) 4 cm
b) 6 cm
c) 8 cm
d) 12 cm
Cevap: c) 8 cm
Çözüm: Kare parçaların kenar uzunluğu, 48 ve 60'ı tam bölen bir sayı olmalıdır. 48'in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. 60'ın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Ortak bölenler 1, 2, 3, 4, 6, 12'dir. 8 bu listede yoktur.
Soru 3: Aşağıdaki sayılardan hangisinin asal çarpanları toplamı diğerlerinden farklıdır?
a) 30
b) 42
c) 66
d) 70
Cevap: d) 70
Çözüm: Her sayıyı asal çarpanlarına ayıralım ve asal çarpanlarını toplayalım.
30 = 2 × 3 × 5 → 2+3+5 = 10
42 = 2 × 3 × 7 → 2+3+7 = 12
66 = 2 × 3 × 11 → 2+3+11 = 16
70 = 2 × 5 × 7 → 2+5+7 = 14
70'in asal çarpanları toplamı (14) diğerlerinden farklıdır.
Soru 4: 84 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( 2^2 \times 3^2 \times 7 \)
b) \( 2 \times 3 \times 7 \)
c) \( 2^2 \times 3 \times 7 \)
d) \( 2 \times 3^2 \times 7 \)
Cevap: c) \( 2^2 \times 3 \times 7 \)
Çözüm: 84'ü asal çarpanlarına ayıralım: 84 ÷ 2 = 42, 42 ÷ 2 = 21, 21 ÷ 3 = 7, 7 ÷ 7 = 1. Asal çarpanlar 2, 2, 3, 7'dir. Bu da \( 2^2 \times 3 \times 7 \) şeklinde gösterilir.
