Merhaba! Bu ders notumuzda, bir doğal sayının çarpanlarını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz ve konuyu pekiştirmek için bir test çözeceğiz.
Bir doğal sayıyı kalansız bölebilen sayılara, o sayının çarpanları veya bölenleri denir.
Örneğin, 12 sayısını ele alalım.
12 sayısının çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.
Bir sayının tüm çarpanlarını bulmak için, o sayıyı kalansız bölen tüm doğal sayıları kontrol ederiz. İşlemi düzenli yapmak için sayıları küçükten büyüğe yazmak en iyisidir.
Örnek: 18 sayısının çarpanlarını bulalım.
18 sayısının çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Aşağıdaki soruları cevaplayarak bilgini test et!
Soru 1: 24 sayısının çarpanları aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap: A) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Soru 2: Aşağıdaki sayılardan hangisi 36'nın çarpanı değildir?
Cevap: B) 8 \( (36 \div 8 = 4.5) \)
Soru 3: Çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 olan sayı kaçtır?
Cevap: A) 12
Soru 4: 30 sayısının çarpanlarından kaç tanesi tek sayıdır?
Cevap: A) 2 (1 ve 3)
Soru 5: 1 ve kendisinden başka çarpanı olmayan, 20'den küçük sayılar hangileridir? (Bu sayılara asal sayı denir)
Cevap: A) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
Tebrikler! Bir doğal sayının çarpanları konusunu öğrendin ve bir test çözdün. Takıldığın yerleri tekrar gözden geçirmeyi unutma.
Soru 1: Bir bahçıvan, 48 tane gül fidanını eşit sayıda ve hiç artmayacak şekilde sıralara dikmek istiyor. Bahçıvanın bir sıraya en az kaç fidan dikebileceğini bulunuz.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 6
Cevap: a) 2
Çözüm: 48'in çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Bir sıraya en az fidandan başlamak istediğimiz için en küçük çarpan 1 olur. Ancak soruda "en az" ifadesi pratikte "mümkün olan en küçük gruplama" anlamında kullanılır ve 1 fidan bir sıra oluşturmaz. Bu nedenle 1 hariç en küçük çarpan olan 2 doğru cevaptır.
Soru 2: Bir marangoz, boyu 120 cm olan tahta bir çubuğu, santimetre cinsinden tam sayı olan eşit parçalara ayıracaktır. Bu parçalardan birinin uzunluğu aşağıdakilerden hangisi olamaz?
a) 15 b) 18 c) 24 d) 30
Cevap: b) 18
Çözüm: Parçanın uzunluğu, 120'nin bir çarpanı olmalıdır. 120'yi verilen seçeneklerdeki sayılara bölelim: 120 ÷ 15 = 8 (tam), 120 ÷ 18 ≈ 6,66 (tam değil), 120 ÷ 24 = 5 (tam), 120 ÷ 30 = 4 (tam). 18, 120'nin bir çarpanı olmadığı için parça uzunluğu olamaz.
Soru 3: Bir sınıftaki öğrenciler, 36 kişi olduklarını fark edip sıralara ikişer ikişer oturduklarında hiç boş sıra kalmıyor. Aynı sınıf sıralara üçerli oturduğunda da hiç boş sıra kalmıyor. Buna göre bu sınıfta en az kaç sıra vardır?
a) 6 b) 9 c) 12 d) 18
Cevap: a) 6
Çözüm: Sıra sayısı, hem 36'nın 2'li gruplandırmasında (36÷2=18 sıra gerekir) hem de 3'lü gruplandırmasında (36÷3=12 sıra gerekir) bir çarpan olmalıdır. Ancak soru, aynı fiziki sıraların hem 2'li hem de 3'lü oturuşlara uyduğunu söylüyor. Yani sıra sayısı, 36'yı kalansız bölen bir sayı olmalı ve aynı zamanda 36'nın hem 2'ye hem de 3'e bölünmesiyle elde edilen sıra sayılarını da kalansız bölebilmelidir. Aslında daha basit bir yaklaşım: Sıra sayısına x diyelim. 2'şerli oturunca tam oturuluyorsa x, 36'nın bir çarpanıdır ve 36/2=18 kişi değil, sıra sayısının kendisi bir çarpan olmalı. Kafa karışıklığını gidermek için: Sıra sayısı (x), 36'nın bir çarpanı olmak zorundadır. Ayrıca ikişerli oturulunca hiç boş yer kalmadığına göre 2x ≥ 36 olmalı, bu da x ≥ 18 yapar. Ama bu sefer üçerli oturulunca 3x ≥ 36 → x ≥ 12 olur. Bu durumda x hem 36'nın çarpanı hem de en az 18 olmalı. 36'nın 18'den büyük veya eşit çarpanları 18, 36'dır. Üçerli oturulunca da hiç boş sıra kalmıyorsa, 3x de 36'ya eşit veya büyük olmalı ama tam olarak sığma durumu için x, 36'nın çarpanı olduğundan 3x, 36'ya eşit olmak zorunda değildir, 3x > 36 de olabilir. Ancak "hiç boş sıra kalmıyor" ifadesi, tüm sıraların tam dolu olduğu anlamına gelmez, ayakta kalan öğrenci olmadığı anlamına gelir. Yani öğrenci sayısı (36), sıra sayısının (x) 2 katına da, 3 katına da eşit veya daha az olmalıdır ki herkes oturabilsin. Ancak "hiç boş sıra kalmıyor" ifadesi genellikle "tüm sıralar dolu" anlamında kullanılmaz, "kimse ayakta kalmıyor" anlamında kullanılır. Bu durumda mantık şudur: Sıra sayısı (x), 36'nın bir çarpanıdır. İkişerli oturulduğunda 2x kişi oturur. Hiç boş sıra kalmaması için 2x ≥ 36 olmalı (yani x ≥ 18). Üçerli oturulduğunda 3x ≥ 36 olmalı (yani x ≥ 12). Bu iki koşulu birlikte düşünürsek x ≥ 18 olmalı. 36'nın 18 ve üzerindeki çarpanları 18 ve 36'dır. En az sıra sayısı sorulduğu için cevap 18 olur. Ancak seçeneklerde 18 (d şıkkı) ve 6 (a şıkkı) var. Burada bir çelişki var. Sorunun klasik ve doğru yorumu: Sıra sayısı, 36'nın bir çarpanıdır. Hem 2 hem de 3 ile bölünebilen (yani 6'nın katı olan) çarpanlarıdır. 36'nın 6 ile bölünebilen çarpanları: 6, 12, 18, 36'dır. En az olan 6'dır. Bu durumda 6 sıra varsa, ikişerli oturulduğunda 12 kişi oturur, 24 kişi ayakta kalır (bu "hiç boş sıra kalmıyor" ile çelişir). Demek ki "hiç boş sıra kalmıyor" ifadesi "tüm sıralar dolu ve kimse ayakta kalmıyor" anlamında kullanılmış. O halde: İkişerli oturulunca: 2x = 36 → x = 18. Üçerli oturulunca: 3x = 36 → x = 12. Bu iki farklı sonuç verir. Bu da sıra sayısının sabit olduğu bilgisi ile çelişir. Sorunun mantıklı ve cevaplanabilir olması için "hiç boş sıra kalmıyor" ifadesinin "kimse ayakta kalmıyor" anlamında olduğunu ve sıra kapasitesinin en az 3 kişi olduğunu varsayarsak, sıra sayısının 36'nın bir çarpanı olduğu ve aynı zamanda 36/2=18 ve 36/3=12 sayılarını da bölebilen bir sayı olması gerekir. Yani sıra sayısı, 18 ve 12'nin ortak böleni olmalıdır. 18 ve 12'nin ortak bölenleri: 1, 2, 3, 6. En büyüğü 6'dır. Sıra sayısı 6 ise, ikişerli oturulduğunda 12 kişi oturur, 24 kişi ayakta kalır. Bu "hiç boş sıra kalmıyor" ifadesiyle çelişir. Bu nedenle sorunun orijinalinde bir anlatım bozukluğu vardır. Müfredata ve soru köküne en uygun cevap, sıra sayısının 36'nın bir çarpanı olduğu ve hem 2'nin hem de 3'ün katı olduğu (yani 6'nın katı) olduğu yönündedir. 36'nın 6'nın katı olan çarpanları: 6, 12, 18, 36. En küçüğü 6'dır. Bu nedenle doğru cevap seçenekler arasında 6 yani a) şıkkı işaretlenir.
