Aralık, gerçek sayılar kümesinde bir başlangıç ve bitiş noktası belirterek tanımlanan sayı gruplarıdır. Aralıklar, matematikte özellikle fonksiyonların tanım ve görüntü kümelerini ifade ederken sıkça kullanılır.
Aralıklar, sayı doğrusu üzerinde şu şekilde gösterilir:
1. \([2, 5]\) aralığı: 2 ve 5 dahil olmak üzere aradaki tüm sayıları kapsar.
2. \((-3, 4)\) aralığı: -3 hariç, 4 hariç, aradaki tüm sayıları kapsar.
3. \([0, ∞)\) aralığı: 0 dahil olmak üzere sonsuza kadar gider.
Soru 1: Aşağıdaki aralıklardan hangisi \( x \leq 5 \) koşulunu sağlayan tüm gerçek sayıları ifade eder?
a) \( (-\infty, 5) \)
b) \( (-\infty, 5] \)
c) \( [5, \infty) \)
d) \( (5, \infty) \)
e) \( \{5\} \)
Cevap: b) \( (-\infty, 5] \)
Çözüm: Köşeli parantez "5" dahil olduğunu gösterir. \( (-\infty, 5] \), 5 ve daha küçük tüm sayıları kapsar.
Soru 2: \( A = [-3, 2) \) ve \( B = (0, 4] \) kümeleri veriliyor. \( A \cap B \) kesişim kümesi hangi aralıkta ifade edilir?
a) \( [-3, 4] \)
b) \( (0, 2) \)
c) \( [0, 2] \)
d) \( (-3, 4) \)
e) \( \{0, 1, 2\} \)
Cevap: b) \( (0, 2) \)
Çözüm: Kesişim, her iki kümede de bulunan ortak elemanlardır. \( A \)'da 2 dahil değil, \( B \)'de 0 dahil değildir.
Soru 3: \( x \) bir gerçek sayı olmak üzere, \( -2 < x \leq 7 \) aralığının gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (-2, 7] \)
b) \( [-2, 7) \)
c) \( [-2, 7] \)
d) \( (-2, 7) \)
e) \( \{-1, 0, ..., 7\} \)
Cevap: a) \( (-2, 7] \)
Çözüm: "-2" dahil değil (parantez), "7" dahil (köşeli parantez) olduğundan doğru gösterim \( (-2, 7] \)'dir.
1. [2, 5) aralığında bulunan tamsayılar ________, ________, ve ________'dir.
2. \( x \leq 7 \) eşitsizliğinin aralık gösterimi ________ şeklindedir.
3. ( −∞, 4] aralığının eşitsizlik gösterimi ________ şeklindedir.
Aşağıdaki aralıkları doğru eşitsizliklerle eşleştirin.
1. [4, 9) aralığı 4 ve 9 dahil olmayan sayıları içerir. (D/Y)
2. ( −∞, 5] aralığı 5 dahil olmak üzere 5'ten küçük tüm sayıları kapsar. (D/Y)
3. \( x > -2 \) ifadesinin aralık gösterimi ( −2, ∞) şeklindedir. (D/Y)
1. \( 2 < x \leq 6 \) eşitsizliğinin aralık gösterimini yazınız.
2. [0, 10) aralığını sayı doğrusunda gösteriniz.
3. "5 hariç 5'ten büyük tüm gerçek sayılar" ifadesini aralık gösterimiyle yazınız.
1. Aşağıdakilerden hangisi \( x \geq 3 \) eşitsizliğinin aralık gösterimidir?
a) (3, ∞) b) [3, ∞) c) ( −∞, 3] d) [3, 3]
2. ( −4, 7] aralığı için hangisi yanlıştır?
a) 7 dahildir b) −4 dahil değildir c) −3.999 dahildir d) 7.1 dahildir
3. Hangisi kapalı aralık örneğidir?
a) (1, 5) b) [2, 8] c) [0, ∞) d) ( −∞, 4)
Cevaplar:
1: 2, 3, 4
2: ( −∞, 7]
3: \( x \leq 4 \)
A:1, B:2, C:3
1: Y, 2: D, 3: D
1: (2, 6], 2: [0 ile kapalı, 10 ile açık nokta), 3: (5, ∞)
1: b, 2: d, 3: b
Soru 1: Aşağıdaki aralıklardan hangisi \( x \geq -3 \) ve \( x < 5 \) koşullarını sağlayan tüm gerçek sayıları ifade eder?
a) \( [-3, 5) \)
b) \( (-3, 5] \)
c) \( (-\infty, -3] \cup (5, \infty) \)
d) \( [-3, \infty) \)
e) \( (-\infty, 5) \)
Cevap: a) \( [-3, 5) \)
Çözüm: Köşeli parantez \( -3 \) dahil, normal parantez \( 5 \) hariç olduğunu gösterir. Bu nedenle doğru gösterim \( [-3, 5) \)'dir.
Soru 2: \( (2, 7] \) aralığında kaç tane tam sayı değeri vardır?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) Sonsuz
Cevap: b) 5
Çözüm: \( 2 \) hariç, \( 7 \) dahil olduğundan tam sayılar \( 3, 4, 5, 6, 7 \) olup toplam 5 tanedir.
Soru 3: \( A = [-1, 4) \) ve \( B = (2, 6] \) kümeleri veriliyor. \( A \cap B \) kesişim kümesi hangi aralıkla gösterilir?
a) \( (2, 4) \)
b) \( [2, 4] \)
c) \( [-1, 6] \)
d) \( (2, 6) \)
e) \( [-1, 4] \)
Cevap: a) \( (2, 4) \)
Çözüm: Kesişim, her iki kümede de bulunan ortak elemanlardır. \( A \)'da \( 4 \) hariç, \( B \)'de \( 2 \) hariç olduğundan sonuç \( (2, 4) \) olur.
Soru 4: \( x \in \mathbb{R} \) olmak üzere, \( |x - 3| \leq 2 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi hangi aralıktır?
a) \( [1, 5] \)
b) \( (1, 5) \)
c) \( (-\infty, 1] \cup [5, \infty) \)
d) \( [3, 5] \)
e) \( (3, 5) \)
Cevap: a) \( [1, 5] \)
Çözüm: Mutlak değer eşitsizliği \( -2 \leq x - 3 \leq 2 \) şeklinde çözülür. Her tarafa \( 3 \) eklenirse \( 1 \leq x \leq 5 \) elde edilir.
