Olasılık konusunda, bir deneyin sonucunda ortaya çıkabilecek durumlara olay denir. Ayrık olaylar ise aynı anda gerçekleşmeleri mümkün olmayan olaylardır.
Daha basit bir ifadeyle:
bu olaylara ayrık olaylar denir.
Bir zar atma deneyini düşünelim:
Bir zar atıldığında hem tek hem de çift sayı aynı anda gelemez. Bu nedenle A ve B olayları ayrık olaylardır.
Bir başka örnek:
Yazı ve tura aynı anda gelemez. Bu yüzden C ve D olayları da ayrık olaylardır.
Bazı olaylar aynı anda gerçekleşebilir. Bunlara ayrık olmayan olaylar denir.
Örnek: Bir zar atalım.
Burada 4 ve 6 sayıları hem E hem de F olayının içindedir. Yani bu iki olay aynı anda gerçekleşebilir (örneğin zarın 4 gelmesi). Bu nedenle E ve F olayları ayrık olmayan olaylardır.
Olasılık hesaplamalarında olayların ayrık olup olmadığını bilmek çok önemlidir.
Soru 1: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 3'ten büyük olması olayı A, asal sayı gelmesi olayı ise B olarak tanımlanmıştır. Buna göre aşağıdaki olaylardan hangisi ayrık olaylara örnek olarak verilebilir?
a) A olayı ile B olayı
b) A olayı ile "gelen sayının çift olması" olayı
c) B olayı ile "gelen sayının 1 olması" olayı
d) "Gelen sayının 2'den büyük olması" ile "gelen sayının 5'ten küçük olması" olayı
e) "Gelen sayının tek olması" ile "gelen sayının çift olması" olayı
Cevap: e) "Gelen sayının tek olması" ile "gelen sayının çift olması" olayı
Çözüm: Ayrık olayların kesişimleri boş küme olmalıdır. Bir zar atıldığında bir sayı hem tek hem çift olamayacağı için bu iki olayın kesişimi boş kümedir. Diğer seçeneklerdeki olayların ortak sonuçları vardır (örneğin, 5 sayısı hem 3'ten büyüktür hem de asal sayıdır).
Soru 2: Bir sınıftaki öğrencilerden rastgele biri seçiliyor. "Seçilen öğrencinin gözlüklü olması" olayı G, "Seçilen öğrencinin sarışın olması" olayı S, "Seçilen öğrencinin erkek olması" olayı E ile gösteriliyor. Bu olaylarla ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
a) G ve S olayları her zaman ayrıktır
b) E ve "seçilen öğrencinin kız olması" olayı ayrıktır
c) G ve E olayları kesinlikle ayrık değildir
d) S ve "seçilen öğrencinin esmer olması" olayı ayrık olmayabilir
e) Hiçbiri
Cevap: b) E ve "seçilen öğrencinin kız olması" olayı ayrıktır
Çözüm: Bir öğrenci aynı anda hem erkek hem kız olamayacağı için bu iki olayın kesişimi boş kümedir, dolayısıyla ayrık olaylardır. Diğer seçeneklerdeki olaylar aynı anda gerçekleşebilir (gözlüklü erkek öğrenci, sarışın ve esmer olabilen öğrenci gibi).
Soru 3: A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinden rastgele bir eleman seçiliyor. B = {2, 4, 6} ve C = {3, 5, 7} kümeleri veriliyor. A kümesi üzerinde tanımlı "seçilen elemanın B kümesinde olması" olayı ile "seçilen elemanın C kümesinde olması" olayı için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Bu iki olay ayrıktır çünkü B ∩ C = ∅
b) Bu iki olay ayrıktır çünkü B ∪ C = A
c) Bu iki olay ayrık değildir çünkü B ve C kümelerinin elemanları A kümesindedir
d) Bu iki olay ayrık değildir çünkü B ∩ C ≠ ∅
e) Bu iki olay ayrıktır çünkü B ve C kümelerinin eleman sayıları eşittir
Cevap: a) Bu iki olay ayrıktır çünkü B ∩ C = ∅
Çözüm: B = {2, 4, 6} ve C = {3, 5, 7} kümelerinin kesişimi boş kümedir (B ∩ C = ∅). Ayrık olayların tanımı gereği, iki olayın kesişiminin boş küme olması gerekir
Soru 1: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının çift olması olayı A, asal sayı olması olayı B olarak tanımlanıyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
a) A ve B olayları ayrık olaylardır.
b) A ve B olayları bağımsız olaylardır.
c) A ve B olaylarının kesişimi boş kümedir.
d) A ve B olayları eş olasılıklıdır.
e) A ve B olayları tümleyen olaylardır.
Cevap: a) A ve B olayları ayrık olaylardır.
Çözüm: Çift sayılar {2,4,6}, asal sayılar {2,3,5}'tir. Bu iki kümenin kesişimi {2} olduğundan ortak eleman vardır. Bu nedenle A ve B ayrık olaylar değildir. Ancak soruda "hangisi doğrudur" denildiği için, bu ifade yanlıştır. Diğer seçenekler incelendiğinde, A ve B'nin kesişimi boş küme olmadığı (c yanlış), eş olasılıklı olmadıkları (P(A)=1/2, P(B)=1/2 olsa da bu eş olasılıklı oldukları anlamına gelmez) ve tümleyen olaylar olmadıkları görülür. Bağımsız olaylar için P(A∩B)=P(A)×P(B) test edilmelidir.
Soru 2: Bir sınıfta 15 kız, 12 erkek öğrenci vardır. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olması olayı K, gözlüklü olması olayı G'dir. K ve G olayları için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
a) K ve G kesinlikle ayrık olaylardır
b) K ve G kesinlikle bağımsız olaylardır
c) K ve G kesinlikle ayrık olaylar değildir
d) K ve G'nin ayrık olup olmadığı verilen bilgilerle belirlenemez
e) K ve G tümleyen olaylardır
Cevap: d) K ve G'nin ayrık olup olmadığı verilen bilgilerle belirlenemez
Çözüm: Ayrık olayların gerçekleşmesi için aynı anda gerçekleşememeleri gerekir, yani K∩G = ∅ olmalıdır. Bir öğrencinin hem kız hem de gözlüklü olması mümkün olduğundan, bu olayların ayrık olup olmadığını belirlemek için gözlüklü kız öğrenci sayısı bilgisine ihtiyaç vardır. Bu bilgi verilmediği için ayrık olup olmadıkları belirlenemez.
Soru 3: A = {1,2,3,4,5,6} örnek uzayında tanımlı A = {1,3,5} ve B = {2,4} olayları veriliyor. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
a) A ve B olayları ayrıktır
b) A ve B olaylarının birleşimi {1,2,3,4,5}'tir
c) A olayının tümleyeni B olayına eşit değildir
d) A ve B olaylarının kesişimi boş kümedir
e) A ve B olayları aynı anda gerçekleşemez
Cevap: b) A ve B olaylarının birleşimi {1,2,3,4,5}'tir
Çözüm: A∪B = {1,2,3,4,5} ifadesi yanlıştır çünkü 6 elemanı bu birleşimde yer almamaktadır. Doğrusu A∪B = {1,2,3,4,5,6} olmalıdır. Diğer seçenekler incelendiğinde: A ve B'nin ortak elemanı olmadığı için
