9. Sınıf Gerçek Sayıların Üslü Gösterimi Nasıl Yapılır

Question

Üslü gösterimi anlamakta zorlanıyorum, özellikle negatif sayıların üsleriyle işlem yaparken kafam karışıyor. Mesela üssün negatif olması durumunda kesire çevirmenin mantığını tam olarak kavrayamadım. Ayrıca üslü sayılarda çarpma ve bölme işlemlerinde tabanlar aynıysa üslerle nasıl oynayacağım konusunda kafam net değil.

Answer 1

Üslü Sayılar Nedir?

Bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını kısa yoldan ifade etmek için üs (kuvvet) gösterimini kullanırız.

Örneğin, 2 x 2 x 2 çarpımını düşünelim. Bunu kısaca \( 2^3 \) şeklinde yazarız.

• Taban: Hangi sayının çarpıldığını gösterir. Örnekte 2 tabandır.
• Üs (Kuvvet): Tabanın kaç kez kendisiyle çarpıldığını gösterir. Örnekte 3 üstür.

Bu gösterimin genel hali: \( a^n \)

Burada a taban, n ise doğal sayı olan üstür ve \( a^n \) ifadesi "a üssü n" veya "a'nın n'inci kuvveti" şeklinde okunur.

Üslü İfadelerin Özellikleri

Üslü ifadelerle işlem yaparken işimizi kolaylaştıran bazı kurallar vardır:

• Çarpma Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır.

  \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

  Örnek: \( 2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128 \)

• Bölme Kuralı: Tabanları aynı olan üslü ifadeler bölünürken üsler çıkarılır.

  \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

  Örnek: \( \frac{3^5}{3^2} = 3^{5-2} = 3^3 = 27 \)

• Üssün Üssü Kuralı: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alınırken üsler çarpılır.

  \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

  Örnek: \( (4^2)^3 = 4^{2 \times 3} = 4^6 = 4096 \)

• Çarpımın Üssü: Bir çarpımın üssü, her bir çarpana ayrı ayrı dağıtılır.

  \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)

  Örnek: \( (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000 \)

Özel Durumlar

• Sıfır Üs: Sıfırdan farklı herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.

  \( a^0 = 1 \) (a ≠ 0)

  Örnek: \( 5^0 = 1 \), \( (-12)^0 = 1 \)

• Birinci Kuvvet: Bir sayının birinci kuvveti, sayının kendisine eşittir.

  \( a^1 = a \)

  Örnek: \( 8^1 = 8 \)

• Negatif Taban: Negatif bir sayının üssü çift sayı ise sonuç pozitif, tek sayı ise sonuç negatiftir.

  Örnek: \( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \) (Üs çift, sonuç pozitif)

  Örnek: \( (-2)^3 = (-2) \times (-2) \times (-2) = -8 \) (Üs tek, sonuç negatif)

Örnek Soru Çözümü

Soru: \( \frac{2^4 \times 3^2

Answer 2

9. Sınıf Gerçek Sayıların Üslü Gösterimi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir bakteri türü, her saat başı 4'e bölünerek çoğalmaktadır. Laboratuvarda başlangıçta 64 bakteri bulunmaktadır. 3 saat sonra toplam bakteri sayısının üslü ifade olarak gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(4^5\)
b) \(4^6\)
c) \(4^7\)
d) \(4^8\)
e) \(4^9\)
Cevap: b) \(4^6\)
Çözüm: Başlangıç: \(64 = 4^3\) bakteri. Her saat 4'e bölündüğü için 3 saat sonra: \(4^3 × 4^3 = 4^{3+3} = 4^6\) bakteri olur.

Soru 2: \(2^{x-1} = 8\) ve \(3^{y+2} = 81\) olduğuna göre, \(x + y\) toplamı kaçtır?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Cevap: c) 7
Çözüm: \(2^{x-1} = 8 = 2^3\) ise \(x-1 = 3\), \(x = 4\). \(3^{y+2} = 81 = 3^4\) ise \(y+2 = 4\), \(y = 2\). \(x + y = 4 + 2 = 6\)

Soru 3: \(\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-2} × 9^3 ÷ 3^{-4}\) işleminin sonucu kaçtır?
a) 3
b) 9
c) 27
d) 81
e) 243
Cevap: e) 243
Çözüm: \(\left(\dfrac{1}{27}\right)^{-2} = 27^2 = (3^3)^2 = 3^6\), \(9^3 = (3^2)^3 = 3^6\). İşlem: \(3^6 × 3^6 ÷ 3^{-4} = 3^{6+6-(-4)} = 3^{16}\)

Soru 4: \(5^{12} + 5^{12} + 5^{12} + 5^{12} + 5^{12}\) toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(5^{13}\)
b) \(5^{60}\)
c) \(25^{12}\)
d) \(5^{17}\)
e) \(25^6\)
Cevap: a) \(5^{13}\)
Çözüm: \(5^{12} + 5^{12} + 5^{12} + 5^{12} + 5^{12} = 5 × 5^{12} = 5^1 × 5^{12} = 5^{13}\)