9. Sınıf Grup İçi Toplam Tokalaşma Sayısını Hesaplama (Algoritma) Nasıl?

Question

Gruptaki her kişinin diğerleriyle bir kez tokalaştığını düşünüyorum ama toplam sayıyı nasıl formüle dökeceğimi bilemedim. Örneğin 5 kişilik bir grupta herkesin kaç tokalaşma yapacağını tek tek saymak yerine pratik bir yol arıyorum.

Answer 1

Grup İçi Tokalaşma Problemi

Bir gruptaki herkesin birbiriyle tokalaştığı durumda toplam tokalaşma sayısını hesaplamak için bir algoritma geliştirebiliriz. Bu, matematikteki kombinasyon konusu ile doğrudan ilişkilidir.

Problemi Anlama

Diyelim ki bir odada n kişi var. Herkes birbiriyle sadece bir kez tokalaşıyor. Toplam tokalaşma sayısını bulmak istiyoruz.

Algoritma Adımları

• 1. Adım: Grubun toplam kişi sayısını belirle (n).
• 2. Adım: Her bir kişi, kendisi hariç diğer herkesle tokalaşır.
• 3. Adım: Bu durumda her bir tokalaşma iki kişi arasında gerçekleştiği için, her tokalaşma saydığımızda iki kez saymış oluruz.
• 4. Adım: Bu nedenle, toplam tokalaşma sayısını bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

Toplam Tokalaşma Sayısı = \( \frac{n \times (n - 1)}{2} \)

Örnek Hesaplama

Örnek 1: 4 kişilik bir grupta tokalaşma sayısını bulalım.

• n = 4
• Formül: \( \frac{4 \times (4 - 1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

Sonuç: 6 tokalaşma gerçekleşir.

Örnek 2: 10 kişilik bir sınıfta tokalaşma sayısını bulalım.

• n = 10
• Formül: \( \frac{10 \times (10 - 1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45 \)

Sonuç: 45 tokalaşma gerçekleşir.

Özet

Bir gruptaki toplam tokalaşma sayısını bulmak için, n kişi sayısı olmak üzere, \( \frac{n \times (n - 1)}{2} \) formülünü kullanırız. Bu formül, her bir tokalaşmanın sadece bir kez sayılmasını sağlar.

Answer 2

Grup İçi Tokalaşma Problemi

Bir gruptaki herkesin birbiriyle tokalaştığı durumda toplam tokalaşma sayısını nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz. Bu, kombinasyon konusuyla doğrudan ilişkili bir problemdir.

Tokalaşma Problemi Nedir?

Diyelim ki bir sınıfta n tane öğrenci var. Bu öğrencilerden her biri, diğer tüm öğrencilerle bir kez tokalaşıyor. Toplam kaç tokalaşma olduğunu bulmak istiyoruz.

Formül ve Mantığı

Toplam tokalaşma sayısını bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:

\( \text{Toplam Tokalaşma} = \frac{n \times (n-1)}{2} \)

Bu formülün mantığı:

• n kişi olduğunu düşünelim
• Her kişi kendisi dışındaki (n-1) kişiyle tokalaşır
• İlk bakışta n × (n-1) tokalaşma olur gibi görünür
• Ancak bu sayımda her tokalaşmayı 2 kez saymış oluruz (Ali-Veli tokalaşması hem Ali'nin hem de Veli'nin tokalaşması olarak)
• Bu nedenle sonucu 2'ye böleriz

Örnek Problemler

Örnek 1: 5 kişilik bir grupta toplam tokalaşma sayısı:

\( \frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) tokalaşma

Örnek 2: 10 kişilik bir sınıfta:

\( \frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45 \) tokalaşma

Algoritma Adımları

Bu problemi çözmek için şu adımları izleyebiliriz:

1. Gruptaki kişi sayısını (n) belirle
2. n ile (n-1)'i çarp
3. Çıkan sonucu 2'ye böl
4. Bulunan sayı toplam tokalaşma sayısıdır

Önemli Noktalar

• Bir kişi kendisiyle tokalaşmaz
• Her tokalaşma iki kişi arasında gerçekleşir
• Aynı iki kişi birbirleriyle sadece bir kez tokalaşır
• Bu problem, kombinasyon ile \( C(n,2) = \frac{n!}{2!(n-2)!} \) şeklinde de çözülebilir