9. Sınıf iki terimin toplamının karesi özdeşliği nedir?

Question

İki terimin toplamının karesi alınırken her iki terimin de karesini ayrı ayrı alıp, çarpımlarının iki katını eklememiz gerekiyor. Mesela (a + b)² ifadesini açarken a² + 2ab + b² şeklinde yazıyoruz. Formülü ezberlemek yerine mantığını anlamaya çalışıyorum ama bazen işlem yaparken karıştırıyorum.

Answer 1

İki Terimin Toplamının Karesi Özdeşliği

Matematikte, iki terimin toplamının karesi, cebirsel ifadeleri açmak ve sadeleştirmek için sıkça kullanılan bir özdeşliktir. Bu özdeşlik, aşağıdaki gibi ifade edilir:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Özdeşliğin Açılımı

Bu formülü şu şekilde açıklayabiliriz:

• \( (a + b)^2 \): İki terimin toplamının karesi alınır.
• \( a^2 \): Birinci terimin karesi.
• \( 2ab \): İki terimin çarpımının iki katı.
• \( b^2 \): İkinci terimin karesi.

Örnekler

Bu özdeşliği bir örnekle gösterelim:

Örnek: \( (x + 3)^2 \) ifadesini açalım.

Çözüm:

• \( a = x \)
• \( b = 3 \)
• \( (x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \)
• \( = x^2 + 6x + 9 \)

Önemli Uygulamalar

Bu özdeşlik, aşağıdaki durumlarda kullanışlıdır:

• Cebirsel ifadeleri genişletmek.
• Denklem çözümlerinde sadeleştirme yapmak.
• Geometrik alan hesaplamalarında (örneğin, bir karenin alanını ifade ederken).

Not: Bu özdeşlik, iki terimin farkının karesi (\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)) ile karıştırılmamalıdır.

Answer 2

9. Sınıf İki Terimin Toplamının Karesi Özdeşliği Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. \( (a + b)^2 \) özdeşliğinin açılımı: \( a^2 + \underline{\quad} + b^2 \)

2. \( (x + 3)^2 = x^2 + \underline{\quad} + 9 \)

Doğru/Yanlış

3. \( (2m + n)^2 = 4m^2 + 4mn + n^2 \) (D/Y)

4. \( (5 + k)^2 = 25 + 10k + k \) (D/Y)

Açık Uçlu Sorular

5. \( (3x + 4y)^2 \) ifadesini özdeşlik kullanarak açınız.

6. \( (a + 7)^2 \) ifadesinin eşitini yazınız.

Eşleştirme

• A) \( (x + 5)^2 \)
• B) \( (2y + 1)^2 \)
• C) \( (3 + z)^2 \)

7. Eşleştirin:

• 1) \( 4y^2 + 4y + 1 \)
• 2) \( 9 + 6z + z^2 \)
• 3) \( x^2 + 10x + 25 \)

Kısa Test

8. \( (p + 8)^2 \) ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir?

a) \( p^2 + 16p + 64 \)

b) \( p^2 + 8p + 16 \)

c) \( p + 16p + 8 \)

Cevaplar:

1: 2ab

2: 6x

3: D

4: Y

5: \( 9x^2 + 24xy + 16y^2 \)

6: \( a^2 + 14a + 49 \)

7: A-3, B-1, C-2

8: a

Answer 3

9. Sınıf İki Terimin Toplamının Karesi Özdeşliği Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \((x + 3)^2\) ifadesinin özdeşlik açılımı aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(x^2 + 6x + 9\)
b) \(x^2 + 3x + 9\)
c) \(x^2 + 9\)
d) \(x^2 + 6x + 6\)
e) \(x^2 + 3x + 6\)
Cevap: a) \(x^2 + 6x + 9\)
Çözüm: İki terimin toplamının karesi özdeşliği \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) şeklindedir. Burada \(a = x\), \(b = 3\) yerine yazılırsa doğru sonuç \(x^2 + 6x + 9\) olur.

Soru 2: \((2y + 5)^2\) ifadesi açıldığında sabit terim (sade sayı) kaç olur?
a) 4
b) 10
c) 20
d) 25
e) 30
Cevap: d) 25
Çözüm: Açılım \(4y^2 + 20y + 25\) şeklindedir. Sabit terim \(b^2\) olduğundan \(5^2 = 25\) bulunur.

Soru 3: Aşağıdaki ifadelerden hangisi \((3a + 4b)^2\) özdeşliğinin açılımı değildir?
a) \(9a^2 + 24ab + 16b^2\)
b) \((4b + 3a)^2\)
c) \(16b^2 + 24ab + 9a^2\)
d) \(3a^2 + 12ab + 4b^2\)
e) \(9a^2 + 12ab + 16b^2\)
Cevap: e) \(9a^2 + 12ab + 16b^2\)
Çözüm: Doğru açılım \(9a^2 + 24ab + 16b^2\) olmalıdır. e seçeneğinde \(24ab\) yerine \(12ab\) yazılmıştır.

Soru 4: \((0,5k + 2)^2\) ifadesinin eşiti nedir?
a) \(0,25k^2 + 2k + 4\)
b) \(0,5k^2 + 4k + 4\)
c) \(0,25k + 2k + 4\)
d) \(0,25k^2 + k + 4\)
e) \(0,25k^2 + 4k + 4\)
Cevap: a) \(0,25k^2 + 2k + 4\)
Çözüm: Özdeşlik uygulanırsa: \((0,5k)^2 + 2 \cdot 0,5k \cdot 2 + 2^2 = 0,25k^2 + 2k + 4\).