Özdeşlik, değişkenlerin tüm değerleri için doğru olan matematiksel eşitliklerdir. Cebirsel ve geometrik olarak farklı şekillerde temsil edilebilirler.
Özdeşlikler, cebirsel ifadelerle gösterilir. En temel özdeşliklerden bazıları:
Bu eşitlikler, herhangi bir \(a\) ve \(b\) değeri için geçerlidir.
Özdeşlikler, alan hesaplamalarıyla geometrik olarak da gösterilebilir:
Örnek: \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\) özdeşliği, bir kenarı \(x + 3\) olan karenin alanının parçalara ayrılmasıyla görselleştirilebilir.
Soru 1: Aşağıdaki şekilde bir kenar uzunluğu \( (x + 3) \) birim olan karenin alanı, iki dikdörtgenin alanları toplamına eşittir. Bu dikdörtgenlerden birinin kenar uzunlukları \( x \) ve \( 3 \) birim, diğerinin kenar uzunlukları \( x \) ve \( x \) birimdir. Buna göre, bu durumu ifade eden özdeşlik aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (x + 3)^2 = x^2 + 3x \)
b) \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)
c) \( (x + 3)^2 = 3x^2 + 9 \)
d) \( (x + 3)^2 = x^2 + 9x \)
e) \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x \)
Cevap: b) \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)
Çözüm: Karenin alanı \( (x + 3)^2 \), dikdörtgenlerin alanları toplamı ise \( x \cdot 3 + x \cdot x = 3x + x^2 \) değildir. Doğru özdeşlik, \( (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \) şeklindedir (iki terimlinin karesi açılımı).
Soru 2: Bir geometrik modelde, kenar uzunlukları \( (a + b) \) ve \( (a - b) \) olan dikdörtgenin alanı, bir kenarı \( a \) olan kareden bir kenarı \( b \) olan kare çıkarılarak hesaplanıyor. Bu durum hangi cebirsel özdeşliğe karşılık gelir?
a) \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
b) \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
c) \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
d) \( a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab \)
e) \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
Cevap: a) \( a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) \)
Çözüm: Dikdörtgenin alanı \( (a + b)(a - b) \), büyük karenin alanı \( a^2 \), çıkarılan küçük karenin alanı \( b^2 \) olduğundan, özdeşlik "iki kare farkı"dır.
Soru 3: Aşağıdaki şekilde bir kenarı \( (2x + 1) \) birim olan kare, 4 eş dikdörtgen ve bir küçük kareden oluşmaktadır. Küçük karenin alanı 1 birimkare olduğuna göre, dikdörtgenlerden birinin alanını veren ifade hangisidir?
a) \( x \)
b) \( 2x \)
c) \( x^2 \)
d) \( 4x \)
e) \( x + 1 \)
Cevap: b) \( 2x \)
Çözüm: \( (2x + 1)^2 = 4 \cdot \text{(dikdörtgen alanı)} + 1 \) şeklinde modellenir. Açılım yapılırsa: \( 4x^2 + 4x + 1 = 4A + 1 \). Buradan \( A = x^2 + x \) değil, her dikdörtgenin alanı \( x \) değildir. Dikdörtgenlerin birinin alanı \( 2x \) birimkaredir (modellemede kenar dağılımına göre).
1. \( (a + b)^2 = a^2 + \underline{\hspace{1cm}} + b^2 \)
2. \( a^2 - b^2 = (a - b)(\underline{\hspace{1cm}}) \)
3. \( (x + 3)^2 = x^2 + \underline{\hspace{1cm}} + 9 \)
Eşleştirin:
1. \( (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \) (D/Y)
2. \( (a - 5)^2 = a^2 - 10a - 25 \) (D/Y)
3. \( x^2 - 16 = (x - 4)^2 \) (D/Y)
1. \( (3a + 2b)^2 \) ifadesini açınız.
2. \( 4x^2 - 9y^2 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
3. Bir kenarı \( (x + 4) \) birim olan karenin alanını cebirsel olarak ifade ediniz.
1. \( (x + 5)(x - 5) \) işleminin sonucu nedir?
a) \( x^2 - 10 \)
b) \( x^2 - 25 \)
c) \( x^2 + 25 \)
2. \( (2a - 3)^2 \) ifadesinin açılımı hangisidir?
a) \( 4a^2 - 6a + 9 \)
b) \( 4a^2 - 12a + 9 \)
c) \( 4a^2 + 12a + 9 \)
Cevaplar:
1: 2ab
2: a + b
3: 6x
A-3, B-1, C-2
1: D, 2: Y, 3: Y
1: \( 9a^2 + 12ab + 4b^2 \)
2: \( (2x - 3y)(2x + 3y) \)
3: \( x^2 + 8x + 16 \)
1: b, 2: b
Soru 1: Aşağıdaki ifadelerden hangisi \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) özdeşliğinin geometrik temsilini doğru şekilde açıklar?
a) Bir karenin alanı, kenar uzunluğunun karesine eşittir.
b) Kenar uzunlukları \(a\) ve \(b\) olan bir dikdörtgenin alanı \(ab\)'dir.
c) Kenar uzunluğu \(a + b\) olan bir kare, bir kenarı \(a\), diğer kenarı \(b\) olan iki dikdörtgen ve iki kareden oluşur.
d) \(a^2 + b^2\) ifadesi, hipotenüsü \(c\) olan bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi gösterir.
e) \( (a + b)^2 \) ifadesi, iki doğrusal denklemin toplamını temsil eder.
Cevap: c) Kenar uzunluğu \(a + b\) olan bir kare, bir kenarı \(a\), diğer kenarı \(b\) olan iki dikdörtgen ve iki kareden oluşur. Çözüm: Geometrik temsilde, büyük kare \( (a + b)^2 \)'yi, içindeki parçalar ise \(a^2\), \(2ab\) ve \(b^2\)'yi gösterir.
Soru 2: \( x^2 - y^2 = 24 \) ve \( x - y = 6 \) olduğuna göre, \( x + y \) değeri kaçtır?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Cevap: c) 4 Çözüm: \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \) özdeşliği kullanılarak \( 24 = 6 \cdot (x + y) \) denklemi elde edilir. Buradan \( x + y = 4 \) bulunur.
Soru 3: \( (2x - 3)^2 \) ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(4x^2 - 6x + 9\)
b) \(4x^2 - 12x + 9\)
c) \(4x^2 + 12x + 9\)
d) \(4x^2 - 9\)
e) \(4x^2 + 9\)
Cevap: b) \(4x^2 - 12x + 9\) Çözüm: \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) özdeşliği uygulanarak \( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9 \) elde edilir.
Soru 4: Bir kenar uzunluğu \( (x + 5) \) cm olan karenin alanını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(x^2 + 5x + 25\)
b) \(x^2 + 10x + 25\)
c) \(x^2 + 25\)
d) \(x^2 + 5\)
e) \(x^2 + 10x + 5\)
Cevap: b) \(x^2 + 10x + 25\) Çözüm: Karenin alanı \( (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 \) şeklinde hesaplanır.
