Sayı kümelerinin arada olma özelliği, bir sayı kümesindeki herhangi iki farklı sayı arasında mutlaka başka bir sayı bulunabileceğini ifade eder. Bu özellik, sayı kümelerinin yoğunluğunu gösterir.
İki rasyonel sayı arasındaki bir sayıyı bulmak için şu formül kullanılabilir:
\( \text{Orta nokta} = \frac{a + b}{2} \)
Örneğin, \( a = \frac{1}{3} \) ve \( b = \frac{1}{2} \) için:
\( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{5}{6}}{2} = \frac{5}{12} \)
Bu da \( \frac{1}{3} \) ve \( \frac{1}{2} \) arasında bir sayıdır.
Arada olma özelliği, sayı kümelerinin yoğun veya ayrık olduğunu belirler. Rasyonel ve reel sayılar yoğunken, doğal ve tam sayılar ayrıktır.
Soru 1: \( \sqrt{5} \) sayısının hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulunuz. Aşağıdaki seçeneklerden hangisi doğrudur?
a) 1 ve 2
b) 2 ve 3
c) 3 ve 4
d) 4 ve 5
e) 5 ve 6
Cevap: b) 2 ve 3
Çözüm: \( \sqrt{4} = 2 \) ve \( \sqrt{9} = 3 \) olduğundan, \( \sqrt{5} \) sayısı 2 ile 3 arasındadır.
Soru 2: \( \frac{3}{7} \) sayısının \( \mathbb{Q} \) kümesinde hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu belirleyiniz.
a) -1 ve 0
b) 0 ve 1
c) 1 ve 2
d) 2 ve 3
e) 3 ve 4
Cevap: b) 0 ve 1
Çözüm: \( \frac{3}{7} \approx 0,428 \) olduğundan, bu sayı 0 ile 1 arasındadır.
Soru 3: \( \pi \) sayısının hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu seçiniz.
a) 2 ve 3
b) 3 ve 4
c) 4 ve 5
d) 5 ve 6
e) 6 ve 7
Cevap: b) 3 ve 4
Çözüm: \( \pi \approx 3,14 \) olduğu için 3 ile 4 arasında yer alır.
Soru 4: \( \sqrt{18} \) sayısının hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulunuz.
a) 3 ve 4
b) 4 ve 5
c) 5 ve 6
d) 6 ve 7
e) 7 ve 8
Cevap: b) 4 ve 5
Çözüm: \( \sqrt{16} = 4 \) ve \( \sqrt{25} = 5 \) olduğundan, \( \sqrt{18} \) sayısı 4 ile 5 arasındadır.
1. Eğer \( a < b \) ise, \( a \) ile \( b \) arasında en az bir ______ sayı vardır.
2. \( \sqrt{2} \) ile \( \sqrt{3} \) arasında sonsuz sayıda ______ sayı bulunur.
1. İki tam sayının oranı şeklinde yazılamayan sayılar.
2. \( \mathbb{N} \) sembolü ile gösterilen küme.
3. \( \frac{1}{2} \) ve \( -3 \) gibi sayıları içeren küme.
1. Her rasyonel sayı aynı zamanda bir tam sayıdır. (D/Y)
2. İki irrasyonel sayı arasında her zaman bir rasyonel sayı bulunur. (D/Y)
1. \( \frac{3}{5} \) ile \( \frac{4}{5} \) arasında bulunan bir rasyonel sayı yazınız.
2. \( \pi \) ile \( 3.15 \) arasında bir sayı örneği veriniz.
1. Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisi diğerlerini kapsar?
a) Doğal Sayılar b) Tam Sayılar c) Rasyonel Sayılar d) İrrasyonel Sayılar
2. Hangisi \( 1.414 \) ile \( 1.415 \) arasında bir irrasyonel sayıdır?
a) \( 1.4145 \) b) \( \sqrt{2} \) c) \( 1.41 \) d) \( \frac{1414}{1000} \)
Cevaplar:
1: rasyonel, 2: rasyonel
1: D, 2: A, 3: C
1: Y, 2: D
1: \( \frac{7}{10} \), 2: \( 3.1416 \)
1: c, 2: b
Soru 1: Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisinde herhangi iki farklı sayı arasında mutlaka başka bir sayı bulunabilir?
a) Doğal sayılar kümesi
b) Tam sayılar kümesi
c) Rasyonel sayılar kümesi
d) Asal sayılar kümesi
e) Çift sayılar kümesi
Cevap: c) Rasyonel sayılar kümesi
Çözüm: Rasyonel sayılar yoğundur, yani herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz rasyonel sayı vardır. Diğer kümelerde bu özellik geçerli değildir.
Soru 2: \( \sqrt{2} \) ve \( \sqrt{3} \) sayıları arasında aşağıdaki sayılardan hangisi bulunmaz?
a) 1,6
b) \( \frac{5}{3} \)
c) 1,4142
d) 1,7321
e) 1,5
Cevap: c) 1,4142
Çözüm: \( \sqrt{2} \approx 1,4142 \) olduğundan bu sayı \( \sqrt{2} \)'ye eşittir, arasında değildir. Diğer seçenekler \( \sqrt{2} \) ile \( \sqrt{3} \) aralığındadır.
Soru 3: \( a \) ve \( b \) rasyonel sayılar olmak üzere, \( a < b \) ise aşağıdakilerden hangisi her zaman \( a \) ile \( b \) arasında bir sayı belirtir?
a) \( \frac{a+b}{3} \)
b) \( \sqrt{ab} \)
c) \( a - b \)
d) \( \frac{a}{b} \)
e) \( a + b \)
Cevap: a) \( \frac{a+b}{3} \)
Çözüm: \( a < \frac{a+b}{3} < b \) eşitsizliği \( a < b \) için her zaman sağlanır. Diğer seçeneklerde bu koşul garanti edilemez.
Soru 4: Reel sayılar kümesinde \( 2,1\overline{6} \) sayısı ile 2,2 sayısı arasında kaç tane tam sayı vardır?
a) 0
b) 1
c) 2
d) Sonsuz
e) Belirsiz
Cevap: a) 0
Çözüm: \( 2,1\overline{6} = \frac{13}{6} \approx 2,166 \) olduğundan 2,166 ile 2,2 aralığında tam sayı bulunmaz.
