Matematikte sayı kümeleri, belirli özelliklere sahip sayı gruplarıdır. 9. sınıf seviyesinde temel sayı kümeleri ve bunların sıralama özelliklerini öğrenmek önemlidir.
Soru 1: Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisinde herhangi iki eleman arasında sıralama yapılamaz?
a) Doğal Sayılar Kümesi (ℕ)
b) Tam Sayılar Kümesi (ℤ)
c) Rasyonel Sayılar Kümesi (ℚ)
d) Karmaşık Sayılar Kümesi (ℂ)
e) Gerçek Sayılar Kümesi (ℝ)
Cevap: d) Karmaşık Sayılar Kümesi (ℂ)
Çözüm: Karmaşık sayılar kümesinde (a+bi formunda) büyüklük karşılaştırması yapılamaz. Diğer kümelerde sayı doğrusu üzerinde sıralama mümkündür.
Soru 2: \( \sqrt{5} \) ve \( \frac{9}{4} \) sayılarını sıraladığımızda aşağıdaki sonuçlardan hangisi doğrudur?
a) \( \sqrt{5} < \frac{9}{4} \)
b) \( \sqrt{5} = \frac{9}{4} \)
c) \( \sqrt{5} > \frac{9}{4} \)
d) Sıralama yapılamaz
e) Kesin bir sonuç söylenemez
Cevap: a) \( \sqrt{5} < \frac{9}{4} \)
Çözüm: \( \sqrt{5} ≈ 2.236 \) ve \( \frac{9}{4} = 2.25 \) olduğundan \( 2.236 < 2.25 \) şeklinde sıralanır.
Soru 3: Aşağıdaki ifadelerden hangisi sayı kümelerinin sıralama özellikleri için yanlıştır?
a) ℝ'de her sayının karesi negatif olamaz
b) ℚ'de iki sayı arasında sonsuz rasyonel sayı vardır
c) ℤ'de en küçük eleman yoktur
d) ℕ'de her elemanın bir sonrakini bulmak mümkündür
e) ℂ'de sayılar mutlak değere göre sıralanabilir
Cevap: e) ℂ'de sayılar mutlak değere göre sıralanabilir
Çözüm: Karmaşık sayılar büyüklük-küçüklük ilişkisiyle sıralanamaz, sadece modülleri karşılaştırılabilir.
Soru 4: \( a = \frac{1}{3} \), \( b = 0.\overline{3} \) ve \( c = \frac{3}{9} \) sayıları için hangi sıralama doğrudur?
a) a < b < c
b) b < a < c
c) a = b = c
d) c < a < b
e) a < c < b
Cevap: c) a = b = c
Çözüm: Tüm ifadeler \( \frac{1}{3} \) değerine eşittir: \( 0.\overline{3} = \frac{1}{3} \) ve \( \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).
1. Bir sayı kümesinde herhangi iki sayı karşılaştırıldığında, ya \( a \leq b \) ya da \( b \leq a \) olmalıdır. Bu özelliğe ________ denir.
2. \( \mathbb{N} \) kümesi ________ sıralama özelliğine sahiptir.
3. \( a \leq b \) ve \( b \leq a \) ise, bu durumda \( a \) ve \( b \) ________ olur.
4. ( ) Tüm sayı kümelerinde geçişlilik özelliği vardır.
5. ( ) \( \mathbb{Z} \) kümesinde her elemanın bir sonraki ve bir önceki elemanı vardır.
6. ( ) \( \mathbb{Q} \) kümesi tam sıralı bir kümedir.
7. \( a \leq b \) ve \( b \leq c \) ise \( a \leq c \) ( )
8. Herhangi iki eleman karşılaştırılabilir ( )
9. \( a \leq b \) ve \( b \leq a \) ise \( a = b \) ( )
10. \( \mathbb{R} \) kümesinin sıralama özelliklerinden üçünü yazınız.
11. \( \mathbb{N} \) ve \( \mathbb{Z} \) kümelerinin sıralama özelliklerini karşılaştırınız.
12. Aşağıdakilerden hangisi bir sayı kümesinin sıralama özelliği değildir?
A) Yansıma
B) Simetri
C) Geçişlilik
D) Antisimetri
Cevaplar:
1: Tam sıralılık
2: iyi sıralı
3: eşit
4: D
5: Y
6: D
7: A
8: B
9: C
10: (Öğrenci cevabı)
11: (Öğrenci cevabı)
12: B
Soru 1: Aşağıdaki sayı kümelerinden hangisinde herhangi iki eleman arasında sıralama yapılamaz?
a) Doğal Sayılar Kümesi (ℕ)
b) Tam Sayılar Kümesi (ℤ)
c) Rasyonel Sayılar Kümesi (ℚ)
d) Karmaşık Sayılar Kümesi (ℂ)
e) Gerçek Sayılar Kümesi (ℝ)
Cevap: d) Karmaşık Sayılar Kümesi (ℂ)
Çözüm: Karmaşık sayılar kümesinde "büyüklük-küçüklük" ilişkisi tanımlı değildir. Örneğin, \(3 + 4i\) ile \(5 + 2i\) karşılaştırılamaz.
Soru 2: \(a, b \in \mathbb{R}\) olmak üzere \(a < b\) ise aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?
a) \(a^2 < b^2\)
b) \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\)
c) \(|a| < |b|\)
d) \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)
e) \(a^3 < b^3\)
Cevap: e) \(a^3 < b^3\)
Çözüm: Küp fonksiyonu tüm reel sayılarda artan olduğundan \(a < b\) iken \(a^3 < b^3\) her zaman geçerlidir. Diğer seçenekler negatif sayılar için hatalı sonuç verir.
Soru 3: \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{5}\), \(0.6\overline{7}\) ve \(\sqrt{0.49}\) sayılarının doğru sıralanışı hangisidir?
a) \(\frac{3}{5} < \sqrt{0.49} < \frac{2}{3} < 0.6\overline{7}\)
b) \(\frac{3}{5} < \frac{2}{3} < \sqrt{0.49} < 0.6\overline{7}\)
c) \(\sqrt{0.49} < \frac{3}{5} < \frac{2}{3} < 0.6\overline{7}\)
d) \(0.6\overline{7} < \frac{2}{3} < \frac{3}{5} < \sqrt{0.49}\)
e) \(\frac{2}{3} < 0.6\overline{7} < \frac{3}{5} < \sqrt{0.49}\)
Cevap: b) \(\frac{3}{5} < \frac{2}{3} < \sqrt{0.49} < 0.6\overline{7}\)
Çözüm: Sayıların ondalık karşılıkları: \(\frac{3}{5} = 0.6\), \(\frac{2}{3} \approx 0.666\), \(\sqrt{0.49} = 0.7\), \(0.6\overline{7} \approx 0.677\).
Soru 4: \(x\) bir irrasyonel sayı ve \(y\) bir rasyonel sayı ise aşağıdakilerden hangisi kesinlikle irrasyoneldir?
a) \(x + y\)
b) \(x \cdot y\)
c) \(\frac{x}{y}\)
d) \(y - x\)
e) Hepsi
Cevap: e) Hepsi
Çözüm: Rasyonel ile irrasyonel sayıların toplamı, farkı, çarpımı veya bölümü (y≠0) her zaman irrasyoneldir. Örneğin: \(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\) irrasyoneldir.
