Bir üçgende açılar ve kenarlar arasında önemli ilişkiler vardır. Bu ilişkiler, üçgenin temel özelliklerini anlamamızı sağlar.
Bir üçgende açı ölçüsü büyük olanın karşısındaki kenar uzunluğu da büyüktür. Örneğin:
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür:
Bazı üçgenlerde açılar ve kenarlar arasında sabit oranlar vardır:
Not: Bu kurallar, üçgenlerin çözümünde ve geometrik problemlerde sıkça kullanılır.
1. Bir üçgende büyük açının karşısında ______ kenar bulunur.
2. Bir üçgende kenar uzunlukları eşitse, açı ölçüleri de ______ olur.
3. \( a > b > c \) olan bir üçgende en büyük açı ______ kenarının karşısındadır.
4. Bir üçgende iki kenarın uzunluğu eşitse, karşılarındaki açılar da eşittir. (D/Y)
5. Bir üçgende en küçük açı, en kısa kenarın karşısındadır. (D/Y)
6. Tüm kenar uzunlukları farklı olan bir üçgende tüm açılar da farklıdır. (D/Y)
7. Tüm açıları 60° olan üçgen
8. İki kenar uzunluğu ve iki açı ölçüsü eşit olan üçgen
9. Tüm kenar uzunlukları ve açı ölçüleri farklı olan üçgen
10. Bir üçgenin kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 10 cm ise, hangi açısının en büyük olduğunu nasıl belirlersiniz?
11. İki açısı 45° ve 60° olan bir üçgenin kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı nasıl yaparsınız?
12. Aşağıdaki üçgenlerden hangisinde açı-kenar ilişkisi yanlış verilmiştir?
A) \( \angle A = 80° \) → \( a = 12 \) cm
B) \( \angle B = 50° \) → \( b = 8 \) cm
C) \( \angle C = 30° \) → \( c = 15 \) cm
D) \( \angle D = 70° \) → \( d = 5 \) cm
Cevaplar:
1: uzun
2: eşit
3: a
4: D
5: D
6: Y
7: A
8: B
9: C
10: En uzun kenar (10 cm) karşısındaki açı
11: En büyük açı (75°) karşısındaki kenar en uzun, en küçük açı (45°) karşısındaki en kısa
12: D
Soru 1: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 50° ve m(∠B) = 70° ise, aşağıdaki kenar uzunlukları sıralamalarından hangisi doğrudur?
a) |BC| > |AC| > |AB|
b) |AB| > |AC| > |BC|
c) |AC| > |AB| > |BC|
d) |BC| > |AB| > |AC|
e) |AB| > |BC| > |AC|
Cevap: d) |BC| > |AB| > |AC|
Çözüm: Üçgende büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. m(∠C) = 60° olduğundan açı sıralaması ∠B > ∠A > ∠C'dir. Kenar sıralaması da |BC| > |AC| > |AB| olmalıdır.
Soru 2: Kenar uzunlukları 5 cm, 7 cm ve 10 cm olan bir üçgenin en büyük açısı kaç derecedir? (cos(θ) ≈ 0.8 için θ ≈ 37°)
a) 37°
b) 53°
c) 90°
d) 100°
e) 120°
Cevap: e) 120°
Çözüm: Kosinüs teoremi ile en büyük kenar (10 cm) karşısındaki açı hesaplanır: \(10^2 = 5^2 + 7^2 - 2·5·7·cos(θ)\). Çözümde cos(θ) = -0.5 bulunur, bu da θ ≈ 120° yapar.
Soru 3: Aşağıdaki üçgenlerden hangisinin kenar uzunlukları açı ölçüleriyle tutarlı değildir?
a) ∠A=30°, ∠B=60°, ∠C=90° → |AB|=5, |BC|=3, |AC|=4
b) ∠D=40°, ∠E=70°, ∠F=70° → |DE|=6, |EF|=6, |DF|=8
c) ∠G=45°, ∠H=45°, ∠K=90° → |GH|=7, |HK|=7, |GK|=7√2
d) ∠M=100°, ∠N=30°, ∠P=50° → |MN|=10, |NP|=8, |MP|=12
e) ∠R=20°, ∠S=20°, ∠T=140° → |RS|=5, |ST|=5, |RT|=9
Cevap: a) ∠A=30°, ∠B=60°, ∠C=90° → |AB|=5, |BC|=3, |AC|=4
Çözüm: Seçenek a'da 90°'lik açının karşısında hipotenüs (|AB|=5) olmalıyken, bu kenar en uzun değil (|AC|=4 > |BC|=3). Oysa 90° karşısındaki kenar en uzun olmalıdır.
Soru 4: İkizkenar bir üçgende eşit açıların ölçüleri 50°'dir. Eşit kenarlardan biri 8 cm ve taban kenarı 6 cm ise, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm'dir? (sin50° ≈ 0.77)
a) 4.5
b) 5.2
c) 6.0
d) 6.8
e) 7.5
Cevap: b) 5.2
Çözüm: Çevrel çember yarıçapı formülü \(R = \frac{a}{2sinA}\) ile hesaplanır. Taban açısı 50° ve karşı kenar 6 cm olduğundan: \(R = \frac{6}{2·0.77} ≈ 3.9/0.77 ≈ 5.2\) cm bulunur.
