9. Sınıf Tabanları Aynı Olan Üslü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemi Nasıl Yapılır? Örnek Sorular

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle tabanları aynı olan sayıları çarparken ve bölerken üsleri ne yapacağımı karıştırıyorum. Çarpma işleminde üsleri topladığımızı, bölme işleminde ise çıkardığımızı biliyorum ama kafamda tam oturmuyor, bu yüzden örnek sorularla pekiştirmek istiyorum.

Answer 1

Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerle Çarpma İşlemi

Üslü ifadelerle çarpma işlemi yaparken, tabanlar aynı ise üsler toplanır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

Matematiksel ifadesi: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

Örnek 1:

\( 2^3 \cdot 2^4 \) işlemini yapalım.

• Tabanlarımız aynı (2).
• Üsleri toplarız: 3 + 4 = 7
• Sonuç: \( 2^{3+4} = 2^7 \)
• \( 2^7 = 128 \) olur.

Örnek 2:

\( 5 \cdot 5^2 \) işlemini yapalım.

• 5 sayısı aslında \( 5^1 \)'dir.
• O halde işlem: \( 5^1 \cdot 5^2 \)
• Üsleri toplarız: 1 + 2 = 3
• Sonuç: \( 5^{1+2} = 5^3 = 125 \)

Tabanları Aynı Olan Üslü İfadelerle Bölme İşlemi

Üslü ifadelerle bölme işlemi yaparken, tabanlar aynı ise payın üssünden paydanın üssü çıkarılır ve ortak tabana üs olarak yazılır.

Matematiksel ifadesi: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Örnek 1:

\( \frac{3^5}{3^2} \) işlemini yapalım.

• Tabanlarımız aynı (3).
• Üsleri çıkarırız: 5 - 2 = 3
• Sonuç: \( 3^{5-2} = 3^3 \)
• \( 3^3 = 27 \) olur.

Örnek 2:

\( \frac{10^4}{10^6} \) işlemini yapalım.

• Tabanlar aynı (10).
• Üsleri çıkarırız: 4 - 6 = -2
• Sonuç: \( 10^{4-6} = 10^{-2} \)
• \( 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} \) olur.

Örnek Sorular ve Çözümleri

Soru 1: \( 7^2 \cdot 7^3 \cdot 7 \) işleminin sonucu kaçtır?

• Çözüm: Tüm tabanlar 7'dir. \( 7 = 7^1 \) olduğunu unutmayalım.
• İşlem: \( 7^2 \cdot 7^3 \cdot 7^1 \)
• Üsleri toplarız: 2 + 3 + 1 = 6
• Sonuç: \( 7^6 \)

Soru 2: \( \frac{2^8}{2^5} \) işleminin sonucu kaçtır?

• Çözüm: Tabanlar aynı (2).
• Üsleri çıkarırız: 8 - 5 = 3
• Sonuç: \( 2^3 = 8 \)

Soru 3: \( \frac{5^{10} \cdot 5^2}{5^9} \) işleminin sonucu kaçtır?

• Çözüm: Önce paydaki çarpma işlemini yapalım.
• \( 5^{10} \cdot 5^2 = 5^{10+2} = 5^{12} \)
• Şimdi bölme işlemini y

Answer 2

9. Sınıf Tabanları Aynı Olan Üslü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir bakteri türü her 20 dakikada bir ikiye bölünerek çoğalmaktadır. 2 saat sonunda oluşan bakteri sayısını üslü ifade olarak hesaplayınız.
a) \(2^3\)   b) \(2^5\)   c) \(2^6\)   d) \(2^7\)   e) \(2^8\)
Cevap: c) \(2^6\)
Çözüm: 2 saat = 120 dakika. 120 ÷ 20 = 6 bölünme gerçekleşir. Başlangıçtaki 1 bakteri için: \(1 \times 2^6 = 2^6\) bakteri oluşur.

Soru 2: \( \frac{5^8 \times 5^3 \times 25}{5^2 \times 125} \) işleminin sonucu kaçtır?
a) \(5^6\)   b) \(5^7\)   c) \(5^8\)   d) \(5^9\)   e) \(5^{10}\)
Cevap: d) \(5^9\)
Çözüm: \(25 = 5^2\) ve \(125 = 5^3\) şeklinde yazılır. Pay: \(5^8 \times 5^3 \times 5^2 = 5^{13}\), Payda: \(5^2 \times 5^3 = 5^5\). Bölme işlemi: \(5^{13} ÷ 5^5 = 5^{13-5} = 5^8\).

Soru 3: \( \frac{4^{x+2} \times 16}{2^{2x} \times 8} \) ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(2^4\)   b) \(2^5\)   c) \(2^6\)   d) \(2^7\)   e) \(2^8\)
Cevap: b) \(2^5\)
Çözüm: Tüm ifadeler 2 tabanında yazılır: \(4^{x+2} = (2^2)^{x+2} = 2^{2x+4}\), \(16 = 2^4\), \(8 = 2^3\). Pay: \(2^{2x+4} \times 2^4 = 2^{2x+8}\), Payda: \(2^{2x} \times 2^3 = 2^{2x+3}\). Bölme: \(2^{2x+8} ÷ 2^{2x+3} = 2^{(2x+8)-(2x+3)} = 2^5\).

Soru 4: \( \frac{27^5 \times 9^3}{81^2 \times 3^8} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a) \(3^7\)   b) \(3^8\)   c) \(3^9\)   d) \(3^{10}\)   e) \(3^{11}\)
Cevap: c) \(3^9\)
Çözüm: Tüm ifadeler 3 tabanında yazılır: \(27^5 = (3^3)^5 = 3^{15}\), \(9^3 = (3^2)^3 = 3^6\), \(81^2 = (3^4)^2 = 3^8\). Pay: \(3^{15} \times 3^6 = 3^{21}\), Payda: \(3^8 \times 3^8 = 3^{16}\). Bölme: \(3^{21} ÷ 3^{16} = 3^{21-16} = 3^5\).