Açıortay Özellikleri Nelerdir?

Question

Üçgenlerde açıortayın temel özelliklerini tam olarak kavrayamadım. Bir açıyı iki eş parçaya böldüğünü biliyorum ama kenarlarla olan orantı ilişkisini kurmakta zorlanıyorum. Özellikle iç ve dış açıortay bağıntılarının nerden geldiğini anlamak istiyorum.

Answer 1

Açıortay Nedir?

Bir açıyı, ölçüleri birbirine eşit iki açıya bölen ışına açıortay denir. Açıortay, açının köşesinden başlar ve açının iç bölgesinden geçer.

Açıortayın Temel Özellikleri

• Eşit Açılar Oluşturur: Bir açıortay, üzerinde bulunduğu açıyı iki eş parçaya böler. Örneğin, \( \widehat{ABC} \) açısının açıortayı [BD ise, \( m(\widehat{ABD}) = m(\widehat{DBC}) \) olur.
• Bir Noktanın Eşit Uzaklığı: Bir açının iç bölgesinde alınan herhangi bir nokta, açıortay üzerinde ise bu noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları birbirine eşittir. Yani, aşağıdaki şekilde [AN, \( \widehat{BAC} \)'nin açıortayı ve \( P \in [AN] \) ise, \( |PH| = |PK| \) olur. Bu, açıortay teoreminin çok temel bir sonucudur.

Üçgende Açıortay Teoremleri

Üçgenlerde açıortayların iki önemli özelliği vardır: İç Açıortay Teoremi ve Dış Açıortay Teoremi.

1. İç Açıortay Teoremi

Bir üçgende bir iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler.

ABC üçgeninde [AD], A açısının açıortayı olsun. Bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

\( \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BD|}{|DC|} \)

Yani, açıortayın kestiği kenarın parçalarının uzunlukları oranı, bu parçalara bitişik olan kenarların uzunlukları oranına eşittir.

2. Dış Açıortay Teoremi

Bir üçgende bir dış açının açıortayı, karşı kenarın uzantısını komşu kenarların oranında böler.

ABC üçgeninde [AE, A açısının dış açıortayı olsun. [BC] kenarının uzantısını E noktasında kessin. Bu durumda aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

\( \dfrac{|AB|}{|AC|} = \dfrac{|BE|}{|CE|} \)

Diğer Önemli Özellikler

• Üçgenin İç Açıortayları: Bir üçgenin üç iç açıortayı iç teğet çemberin merkezi olan bir noktada (iç teğet çemberin merkezi) kesişir.
• Üçgenin İki Dış ve Bir İç Açıortayı: Bir üçgenin iki dış açıortayı ile üçüncü iç açıortayı, dış teğet çemberlerden birinin merkezi olan bir noktada (dış teğet çemberin merkezi) kesişir.
• Açıortay Uzunluğı: Bir üçgende bir açıortayın uzunluğu, kenar uzunlukları cinsinden hesaplanabilir. A açısına ait [AD] açıortayının uzunluğu (\( n_a \)) aşağıdaki formülle bulunur:

  \( n_a^2 = b \cdot c \left[1 - \left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\right] \)

  veya

  \( n_a^2 = b \cdot c - m \cdot n \)

  Burada \( m = |BD| \) ve \( n = |DC| \)'dir.