Analitik düzlemde vektörler

Question

Vektörleri koordinat düzleminde nasıl göstereceğimi tam olarak anlamadım. Başlangıç ve bitiş noktalarını kullanarak çizim yapmakta zorlanıyorum. Ayrıca vektörlerin bileşenlerini bulurken bazen işaret konusunda kafam karışıyor.

Answer 1

📐 Analitik Düzlemde Vektörler

Analitik düzlemde vektörler, hem büyüklüğü hem de yönü olan matematiksel nesnelerdir. Bu konu, vektörleri koordinat sisteminde nasıl temsil edeceğimizi ve işlemler yapacağımızı öğretir.

🎯 Vektör Nedir?

Vektör, büyüklük (şiddet) ve yön ile karakterize edilen matematiksel bir niceliktir. Örneğin kuvvet, hız ve ivme vektörel büyüklüklerdir.

📍 Vektörlerin Bileşenleri

Analitik düzlemde bir vektör, başlangıç ve bitiş noktalarıyla veya bileşenleriyle tanımlanır. Bir \( \vec{v} \) vektörü şu şekilde gösterilebilir:

• 🎯 Bileşen formunda: \( \vec{v} = (v_x, v_y) \)
• ➡️ Yönlü doğru parçası olarak: \( \overrightarrow{AB} \)

📏 Vektörün Büyüklüğü (Uzunluğu)

Bir \( \vec{v} = (v_x, v_y) \) vektörünün büyüklüğü şu formülle hesaplanır:

\( |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \)

🧮 Vektör İşlemleri

✅ Vektörlerde Toplama

İki vektörün toplamı, karşılıklı bileşenlerin toplanmasıyla bulunur:

\( \vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y) \)

✖️ Vektörlerde Çıkarma

İki vektörün farkı, karşılıklı bileşenlerin çıkarılmasıyla bulunur:

\( \vec{u} - \vec{v} = (u_x - v_x, u_y - v_y) \)

🔢 Bir Skaler ile Çarpma

Bir vektörün bir skaler (reel sayı) ile çarpımı:

\( k \cdot \vec{v} = (k \cdot v_x, k \cdot v_y) \)

📐 Birim Vektör

Büyüklüğü 1 olan vektöre birim vektör denir. Herhangi bir vektörün birim vektörü şöyle bulunur:

\( \hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} \)

🎯 Standart Birim Vektörler

Analitik düzlemde x-ekseni ve y-ekseni yönündeki standart birim vektörler:

• \( \hat{i} = (1, 0) \) ➡️ x-ekseni yönünde
• \( \hat{j} = (0, 1) \) ⬆️ y-ekseni yönünde

Herhangi bir vektör bu birim vektörler cinsinden yazılabilir:

\( \vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} \)

💡 Örnek Problem

Örnek: \( \vec{u} = (3, 4) \) ve \( \vec{v} = (1, -2) \) vektörleri verilsin.

• 📌 \( \vec{u} + \vec{v} = (3+1, 4+(-2)) = (4, 2) \)
• 📌 \( \vec{u} - \vec{v} = (3-1, 4-(-2)) = (2, 6) \)
• 📌 \( |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
• 📌 \( \vec{u} \)'nün birim vektörü: \( \hat{u} = \frac{(3, 4)}{5} = (0.6, 0.8) \)

🎓 Önemli Noktalar

• 📌 Vektörlerde toplama değişmeli ve birleşmelidir
• 📌 Bir vektörün negatifi, büyüklüğü aynı ama yönü ters olan vektördür
• 📌 Sıfır vektör: \( \vec{0} = (0, 0) \)
• 📌 İki vektörün eşit olması için karşılıklı bileşenlerin eşit olması gerekir