Aralık İşlemleri Nedir?
Matematikte, özellikle fonksiyonların tanım ve görüntü kümelerini ifade ederken, bir sayı doğrusu üzerindeki belirli bir bölgeyi tanımlamak için aralık işlemlerini kullanırız. Bir aralık, başlangıç ve bitiş noktaları ile bu noktaların dahil olup olmadığını belirten bir sayı kümesidir.
Aralık Türleri
Aralıklar, uç noktaların kümeye dahil olup olmamasına göre dört ana türde incelenir:
- Kapalı Aralık: Her iki uç nokta da aralığa dahildir. Köşeli parantez "[ ]" ile gösterilir.
Örnek: [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }
- Açık Aralık: Hiçbir uç nokta aralığa dahil değildir. Yuvarlak parantez "( )" ile gösterilir.
Örnek: (a, b) = { x | a < x < b }
- Yarı Açık Aralık: Uç noktalardan sadece biri aralığa dahildir.
Örnek: [a, b) = { x | a ≤ x < b }
Örnek: (a, b] = { x | a < x ≤ b }
Aralıkların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterilmesi
Sayı doğrusu, aralıkları görselleştirmek için mükemmel bir araçtır. İşaretleme kuralları şunlardır:
- Bir nokta aralığa dahilse, o nokta içi dolu bir daire (•) veya köşeli parantez "[ ]" ile belirtilir.
- Bir nokta aralığa dahil değilse, o nokta içi boş bir daire (○) veya yuvarlak parantez "( )" ile belirtilir.
- Aralığın kapsadığı tüm noktalar, bu işaretler arasında kalan çizgi ile gösterilir.
Örneklerle Gösterim
Örnek 1: [-2, 3] kapalı aralığını sayı doğrusunda gösterelim.
- -2 ve 3 noktaları aralığa dahildir.
- Sayı doğrusunda -2 ve 3 noktalarının üzerine içi dolu daireler koyarız.
- Bu iki nokta arasında kalan bölgeyi kalın bir çizgi ile tararız.
Örnek 2: (1, 4) açık aralığını sayı doğrusunda gösterelim.
- 1 ve 4 noktaları aralığa dahil değildir.
- Sayı doğrusunda 1 ve 4 noktalarının üzerine içi boş daireler koyarız.
- Bu iki nokta arasında kalan bölgeyi kalın bir çizgi ile tararız.
Örnek 3: [0, ∞) aralığını sayı doğrusunda gösterelim.
- Bu, 0'dan başlayıp sonsuza giden bir aralıktır. "∞" her zaman yuvarlak parantez ile yazılır çünkü sonsuzluk bir sayı değildir ve dahil edilemez.
- 0 noktası aralığa dahildir (içi dolu daire).
- 0'dan sağa doğru, ok işareti koyarak sonsuza kadar giden bir çizgi çizeriz.
Aralıklarda Birleşim (∪) ve Kesişim (∩) İşlemleri
Aralıklar üzerinde küme işlemleri de yapılabilir.
Birleşim (∪): İki aralığın tüm elemanlarını içeren yeni bir küme oluşturur.
Örnek: (-1, 2] ∪ [1, 3) ifadesini bulalım. Bu, -1 ile 3 arasındaki tüm sayıları içerir, ancak -1 dahil değildir. Sonuç: (-1, 3)
Kesişim (∩): İki aralığın ortak elemanlarından oluşan yeni bir küme oluşturur.
Örnek: [-2, 4) ∩ (1, 5] ifadesini bulalım. Her iki aralıkta da bulunan sayılar 1 ile 4 arasındadır, ancak 1 ikinci aralığa dahil olmadığı için kesişime de dahil edilmez. Sonuç: (1, 4)
