🎨 Limit Kavramı Nedir?
Limit, bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değere denir. Yani, $x$ bir sayıya yaklaşırken $f(x)$ neye yaklaşıyor, onu inceleriz.
- 🚀 Yaklaşma: Bir sayıya sağdan ve soldan yaklaşmak önemlidir. Eğer sağdan ve soldan yaklaşımlar aynı değere gidiyorsa, o noktada limit vardır diyebiliriz.
- 🎯 Gösterim: Limiti şu şekilde gösteririz: $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Bu, $x$, $a$'ya yaklaşırken $f(x)$'in $L$'ye yaklaştığı anlamına gelir.
- 🚫 Tanımsızlık: Bir fonksiyonun bir noktada limiti olmayabilir. Örneğin, payda sıfır olduğunda veya sağ ve sol limitler farklı olduğunda limit yoktur.
🌈 Limit Çeşitleri
- ➕ Sağdan Limit: $x$, $a$'ya sağdan (yani $a$'dan büyük değerlerle) yaklaşırken $f(x)$'in yaklaştığı değerdir. Gösterimi: $\lim_{x \to a^+} f(x)$
- ➖ Soldan Limit: $x$, $a$'ya soldan (yani $a$'dan küçük değerlerle) yaklaşırken $f(x)$'in yaklaştığı değerdir. Gösterimi: $\lim_{x \to a^-} f(x)$
- ♾️ Sonsuz Limit: $x$, $a$'ya yaklaşırken $f(x)$'in değeri sonsuza gidiyorsa, sonsuz limit vardır. Örneğin, $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$
✨ Süreklilik Nedir?
Süreklilik, bir fonksiyonun grafiğinin kopukluk veya sıçrama olmadan çizilebilmesi durumudur. Bir fonksiyonun sürekli olması için üç şart sağlanmalıdır:
- 1️⃣ Tanımlı Olmalı: $f(a)$ tanımlı olmalı, yani $a$ noktasında bir değeri olmalı.
- 2️⃣ Limit Olmalı: $\lim_{x \to a} f(x)$ var olmalı. Yani, sağdan ve soldan limitler eşit olmalı.
- 3️⃣ Eşit Olmalı: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ olmalı. Yani, limit değeri, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmalı.
💡 Süreksizlik Türleri
- ✂️ Kaldırılabilir Süreksizlik: Fonksiyonun o noktada limiti vardır, ancak fonksiyonun değeri limite eşit değildir veya o noktada tanımlı değildir. Örneğin: $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ fonksiyonu $x=2$ noktasında tanımsızdır, ancak limiti vardır.
- 💥 Sıçramalı Süreksizlik: Sağ ve sol limitler farklıdır. Bu durumda fonksiyon o noktada sıçrar. Örneğin:
\[
f(x) =
\begin{cases}
1, & x < 0 \\
2, & x \geq 0
\end{cases}
\]
- ♾️ Sonsuz Süreksizlik: Fonksiyonun limiti sonsuzdur. Örneğin: $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu $x=0$ noktasında sonsuz süreksizliğe sahiptir.
❓ Örnek Sorular ve Çözümleri
Şimdi de öğrendiklerimizi pekiştirmek için birkaç örnek soru çözelim:
-
Soru 1:
Aşağıdaki fonksiyonun $x = 2$ noktasındaki limitini bulunuz:
\[
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & x < 2 \\
3x - 2, & x \geq 2
\end{cases}
\]
Çözüm:
- 🍎 Soldan limit: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 2^2 = 4$
- 🍏 Sağdan limit: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) = 3(2) - 2 = 4$
- 🍓 Limit değeri: Sağ ve sol limitler eşit olduğundan, $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$
-
Soru 2:
Aşağıdaki fonksiyonun $x = 1$ noktasında sürekli olup olmadığını belirleyin:
\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\
2, & x = 1
\end{cases}
\]
Çözüm:
- 🍎 Tanımlı mı?: $f(1) = 2$ (Tanımlı)
- 🍏 Limit var mı?: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$ (Limit var)
- 🍓 Eşit mi?: $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2$ (Eşit)
- 🥝 Sonuç: Fonksiyon $x = 1$ noktasında süreklidir.
