🎨 Limit Nedir?
Limit, bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değere denir. Yani, $x$ bir sayıya yaklaşırken, $f(x)$ hangi sayıya yaklaşıyor, bunu inceleriz.
- 🚀 Yaklaşma: Bir sayıya sağdan ve soldan yaklaşmak önemlidir. Eğer sağdan ve soldan yaklaştığımızda aynı değere ulaşıyorsak, o noktada limit vardır diyebiliriz.
- 🎯 Gösterim: Limiti şu şekilde gösteririz: $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Bu, $x$, $a$'ya yaklaşırken $f(x)$)'in $L$'ye yaklaştığı anlamına gelir.
🎨 Süreklilik Nedir?
Bir fonksiyonun grafiğini çizerken kalemimizi hiç kaldırmadan çizebiliyorsak, o fonksiyon süreklidir. Matematiksel olarak, bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için üç şart sağlanmalıdır:
- ✅ Tanımlı Olmalı: $f(a)$ tanımlı olmalıdır. Yani, fonksiyon o noktada bir değere sahip olmalıdır.
- ✅ Limiti Olmalı: $\lim_{x \to a} f(x)$ var olmalıdır. Yani, sağdan ve soldan limitler eşit olmalıdır.
- ✅ Eşit Olmalı: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ olmalıdır. Yani, limit değeri fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmalıdır.
🧩 Süreksizlik Türleri
- 💥 Kaldırılabilir Süreksizlik: Fonksiyonun limit değeri vardır, ancak fonksiyon o noktada tanımlı değildir veya limit değerine eşit değildir.
- ✂️ Sıçramalı Süreksizlik: Sağdan ve soldan limitler farklıdır.
- ♾️ Sonsuz Süreksizlik: Fonksiyonun limiti sonsuzdur.
🎨 Limit ve Süreklilik Uygulama Soruları
Şimdi de öğrendiklerimizi pekiştirmek için birkaç soru çözelim:
❓ Soru 1:
$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1)$ ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Bu basit bir polinom fonksiyonu olduğu için, direkt olarak $x$ yerine 2 koyabiliriz:
$2^2 + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9$
Cevap: 9
❓ Soru 2:
$f(x) = \begin{cases} x+1, & x < 1 \\ 3, & x = 1 \\ 2x, & x > 1 \end{cases}$
fonksiyonu $x = 1$ noktasında sürekli midir?
Çözüm:
Süreklilik için üç şartı kontrol etmeliyiz:
Şimdi limiti kontrol edelim:
* Sol Limit: $\lim_{x \to 1^-} (x+1) = 1 + 1 = 2$
* Sağ Limit: $\lim_{x \to 1^+} (2x) = 2(1) = 2$
- ✅ $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ (Limit Var)
Son olarak, limitin fonksiyon değerine eşit olup olmadığını kontrol edelim:
$\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \neq 3 = f(1)$
- ❌ Limit, fonksiyon değerine eşit değil.
Sonuç: Fonksiyon $x = 1$ noktasında sürekli değildir.
❓ Soru 3:
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 - 5}$ ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm:
Sonsuza giderken, en yüksek dereceli terimler önemlidir. Bu nedenle, pay ve paydadaki en yüksek dereceli terimleri alabiliriz:
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3$
Cevap: 3
