📐 Vektörler: Temel Kavramlar
Vektörler, matematik ve fizikte yönü ve büyüklüğü olan nicelikleri ifade etmek için kullanılır. Bir vektör, bir doğru parçası ile temsil edilir; bu doğru parçasının uzunluğu vektörün büyüklüğünü, yönü ise vektörün doğrultusunu gösterir.
- 📌 Başlangıç Noktası: Vektörün başladığı noktadır.
- 📌 Bitiş Noktası: Vektörün sona erdiği noktadır.
- 📌 Doğrultu: Vektörün hangi yöne baktığını gösterir.
- 📌 Büyüklük (Şiddet): Vektörün uzunluğudur. $| \vec{AB} |$ şeklinde gösterilir.
➕ Vektörlerde İşlemler
Vektörlerle toplama, çıkarma ve skalerle çarpma gibi işlemler yapılabilir.
➕ Vektörlerde Toplama
İki vektörü toplamak için, vektörler uç uca eklenir. $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerini topladığımızda, $\vec{A} + \vec{B}$ elde ederiz.
- ➕ Uç Uca Ekleme Yöntemi: $\vec{A}$ vektörünün bitiş noktasına $\vec{B}$ vektörünün başlangıç noktası gelecek şekilde yerleştirilir. Başlangıç noktasından bitiş noktasına çizilen vektör, toplam vektörü verir.
- ➕ Paralelkenar Yöntemi: $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerinin başlangıç noktaları aynı olacak şekilde yerleştirilir. Bu iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın köşegeni, toplam vektörü verir.
➖ Vektörlerde Çıkarma
$\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerini çıkarmak, $\vec{A}$ vektörüne $-\vec{B}$ vektörünü eklemekle aynıdır. Yani, $\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$.
- ➖ $-\vec{B}$, $\vec{B}$ vektörünün tersidir; aynı büyüklüğe sahip ancak zıt yöndedir.
🔢 Skaler ile Çarpma
Bir vektörü bir skaler (sayı) ile çarpmak, vektörün büyüklüğünü değiştirir. Eğer skaler pozitif ise, vektörün yönü değişmez; eğer skaler negatif ise, vektörün yönü tersine döner.
- 🔢 $k \cdot \vec{A}$, $\vec{A}$ vektörünün $k$ katı büyüklüğünde bir vektördür.
- 🔢 Eğer $k > 0$ ise, vektörün yönü aynı kalır.
- 🔢 Eğer $k < 0$ ise, vektörün yönü tersine döner.
📍 Vektörlerin Bileşenleri
Bir vektörü, koordinat sistemindeki eksenler üzerindeki izdüşümleri olan bileşenlerine ayırabiliriz. Örneğin, iki boyutlu bir koordinat sisteminde, $\vec{A}$ vektörünün $x$ ekseni üzerindeki bileşeni $A_x$ ve $y$ ekseni üzerindeki bileşeni $A_y$ ise, $\vec{A} = (A_x, A_y)$ şeklinde ifade edilir.
- 📍 $A_x = | \vec{A} | \cdot \cos{\theta}$
- 📍 $A_y = | \vec{A} | \cdot \sin{\theta}$
- 📍 Burada $\theta$, vektörün $x$ ekseni ile yaptığı açıdır.
⚫ Vektörlerde İç Çarpım (Skaler Çarpım)
İki vektörün iç çarpımı, bir skaler (sayı) verir. $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerinin iç çarpımı $\vec{A} \cdot \vec{B}$ şeklinde gösterilir.
- ⚫ $\vec{A} \cdot \vec{B} = | \vec{A} | \cdot | \vec{B} | \cdot \cos{\theta}$
- ⚫ Burada $\theta$, $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörleri arasındaki açıdır.
- ⚫ Eğer $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ ise, $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörleri birbirine diktir.
✖️ Vektörlerde Dış Çarpım (Vektörel Çarpım)
İki vektörün dış çarpımı, yeni bir vektör verir. $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerinin dış çarpımı $\vec{A} \times \vec{B}$ şeklinde gösterilir.
- ✖️ Dış çarpım sonucu elde edilen vektör, $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörlerinin her ikisine de diktir.
- ✖️ $| \vec{A} \times \vec{B} | = | \vec{A} | \cdot | \vec{B} | \cdot \sin{\theta}$
- ✖️ Burada $\theta$, $\vec{A}$ ve $\vec{B}$ vektörleri arasındaki açıdır.
