Basit harmonik harekette konum, hız, ivme

Question

Bu üç kavram arasındaki ilişkiyi tam olarak kuramıyorum. Konum maksimumken hızın neden sıfır olduğunu ve ivmenin yönünü anlamakta zorlanıyorum. Grafiklerini çizerken de birbirlerine göre nasıl konumlandıklarını karıştırıyorum.

Answer 1

📏 Basit Harmonik Hareket (BHH) Nedir?

Basit Harmonik Hareket, denge konumu etrafında periyodik olarak tekrarlanan ve yer değiştirme ile orantılı bir kuvvetin etkisi altında gerçekleşen harekettir. Yay-sarkaç sistemi buna en güzel örnektir. 🌀

🎯 Temel Büyüklükler

• ✅ Genlik (A): Cismin denge konumundan maksimum uzaklığı.
• ✅ Açısal Hız (ω): Birim zamandaki açısal değişim. Periyot (T) ve frekans (f) ile \( \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \) ilişkisi vardır.
• ✅ Faz Açısı (φ): Hareketin başlangıç anındaki konumunu belirler.

📈 Konum (Yer Değiştirme) - x(t)

Cismin denge noktasına olan uzaklığını zamanın fonksiyonu olarak ifade eder. Sinüs veya kosinüs fonksiyonu kullanılabilir. Kosinüs kullanalım:

\( x(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_0) \)

• ➡️ x(t): t anındaki konum.
• ➡️ A: Genlik.
• ➡️ ω: Açısal hız.
• ➡️ φ₀: Başlangıç fazı.

Bu denklem, cismin -A ile +A arasında salındığını gösterir. 📊

⚡ Hız - v(t)

Hız, konumun zamana göre türevidir.

\( v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \cdot \sin(\omega t + \phi_0) \)

• 💡 Hız, konumun sıfır olduğu (denge noktası) anda maksimum olur: \( v_{maks} = A\omega \)
• 💡 Hız, konumun maksimum olduğu (genlik noktaları) anda sıfırdır.

🚀 İvme - a(t)

İvme, hızın zamana göre türevi veya konumun zamana göre ikinci türevidir.

\( a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2 \cdot \cos(\omega t + \phi_0) \)

Konum denklemini \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi_0) \) olarak biliyoruz. Bunu ivme denkleminde yerine koyarsak:

\( a(t) = -\omega^2 \cdot x(t) \)**

• 🎯 Bu, BHH'nin en temel özelliğidir: İvme, yer değiştirme ile orantılıdır ve daima denge konumuna doğru yönelmiştir.
• 💡 İvme, konumun maksimum olduğu noktalarda maksimumdur: \( a_{maks} = A\omega^2 \)
• 💡 İvme, denge noktasında sıfırdır.

📊 Konum, Hız ve İvme Arasındaki İlişki

• 🔄 Konum kosinüs ile, hız -sinüs ile, ivme ise -kosinüs ile ifade edilir. Bu, aralarında 90°'lik (π/2 radyan) bir faz farkı olduğu anlamına gelir.
• 📉 Hız, konumun sıfır olduğu yerde en büyüktür.
• 📈 İvme, konumun en büyük olduğu yerde en büyüktür ve her zaman konum vektörünün tersi yönündedir.

🧠 Örnek Bir Durum

Bir cisim \( x(t) = 0.5 \cos(4t) \) m denklemine göre hareket ediyor.

• ✅ Genlik (A) = 0.5 m
• ✅ Açısal Hız (ω) = 4 rad/s
• ✅ Hız Denklemi: \( v(t) = -0.5 \cdot 4 \cdot \sin(4t) = -2 \sin(4t) \) m/s
• ✅ İvme Denklemi: \( a(t) = - (4)^2 \cdot 0.5 \cos(4t) = -8 \cos(4t) \) m/s²
• ✅ Maksimum İvme: \( a_{maks} = 8 \) m/s²