Logaritma konusunda en önemli ve pratik formüllerden biri olan taban değiştirme formülü, bir logaritmanın tabanını değiştirerek farklı bir tabanda ifade etmemizi sağlar. Bu formül, özellikle hesap makinelerinde sadece 10 ve e tabanlı logaritma fonksiyonları bulunduğu durumlarda büyük kolaylık sağlar.
Herhangi bir a, b ve c pozitif reel sayıları ve a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠ 1 olmak üzere:
\[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
Bu formül bize, a tabanında b'nin logaritmasını hesaplamak için, c tabanında b'nin logaritmasını c tabanında a'nın logaritmasına bölmemiz gerektiğini söyler.
\[ \log_a b = \frac{\log_{10} b}{\log_{10} a} = \frac{\log b}{\log a} \]
\[ \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a} \]
log₂ 8 ifadesini 10 tabanına göre hesaplayalım:
\[ \log_2 8 = \frac{\log 8}{\log 2} = \frac{\log 2^3}{\log 2} = \frac{3 \cdot \log 2}{\log 2} = 3 \]
log₅ 25 ifadesini e tabanına göre hesaplayalım:
\[ \log_5 25 = \frac{\ln 25}{\ln 5} = \frac{\ln 5^2}{\ln 5} = \frac{2 \cdot \ln 5}{\ln 5} = 2 \]
log₃ 7 ifadesini 10 tabanına göre hesaplayalım:
\[ \log_3 7 = \frac{\log 7}{\log 3} \approx \frac{0.8451}{0.4771} \approx 1.771 \]
Taban değiştirme formülünü ispatlamak için şu adımları izleyebiliriz:
1. \( x = \log_a b \) diyelim.
2. Logaritmanın tanımından: \( a^x = b \)
3. Her iki tarafın c tabanında logaritmasını alalım: \( \log_c (a^x) = \log_c b \)
4. Logaritma özelliğinden: \( x \cdot \log_c a = \log_c b \)
5. x'i yalnız bırakalım: \( x = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
6. x yerine \( \log_a b \) yazarsak: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
Taban değiştirme formülü, logaritma konusunda en sık kullanılan ve en pratik formüllerden biridir. Bu formülü iyi öğrenmek, logaritmik ifadelerle çalışırken büyük kolaylık sağlayacaktır.
