Basit kesirlere ayırma yöntemi (İntegral)

Question

Bu konuyu genelde anlıyorum ama paydanın çarpanlarına ayrıldığı durumlarda katsayıları bulmakta zorlanıyorum. Özellikle paydan derece küçük olduğunda A, B gibi sabitleri nasıl belirleyeceğim karışıyor. Bir de bu yöntemi ne zaman kullanmam gerektiğini tam olarak kestiremiyorum.

Answer 1

# 📘 Basit Kesirlere Ayırma Yöntemi (İntegral) - Ders Notu

🎯 Yöntemin Amacı ve Kullanım Alanı

Basit kesirlere ayırma (Partial Fractions Decomposition), rasyonel fonksiyonların integralini almayı kolaylaştırmak için kullanılan cebirsel bir yöntemdir. Paydası çarpanlarına ayrılabilen kesirli ifadeleri, daha basit kesirlerin toplamı şeklinde yazarız. Bu sayede karmaşık görünen integraller, temel integral formüllerine dönüşür.

🔍 Temel Prensip

Bir rasyonel fonksiyon \( \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklindedir, burada \( P(x) \) ve \( Q(x) \) polinomlardır. Eğer:

• 📉 Payın derecesi, paydanın derecesinden küçükse (proper fraction) → Doğrudan ayırma yapılır.
• 📈 Payın derecesi, paydanın derecesinden büyük veya eşitse (improper fraction) → Önce polinom bölmesi yapılır, kalan ifade ayırılır.

📝 Ayırma Kuralları (Paydanın Çarpanlarına Göre)

1. 🟢 Birinci Dereceden Farklı Lineer Çarpanlar

Payda: \( Q(x) = (ax + b)(cx + d) \) şeklinde ayrılabiliyorsa:

\[ \frac{P(x)}{(ax + b)(cx + d)} = \frac{A}{ax + b} + \frac{B}{cx + d} \]

Burada \( A \) ve \( B \) sabitlerini bulmak için payda eşitleyip katsayıları karşılaştırırız.

2. 🔵 Tekrarlayan (Katlı) Lineer Çarpan

Payda: \( Q(x) = (ax + b)^n \) gibi bir çarpan içeriyorsa:

\[ \frac{P(x)}{(ax + b)^n} = \frac{A_1}{ax + b} + \frac{A_2}{(ax + b)^2} + \dots + \frac{A_n}{(ax + b)^n} \]

3. 🟡 İndirgenemez İkinci Dereceden Çarpanlar

Payda: \( Q(x) = (ax^2 + bx + c) \) ve diskriminant \( \Delta < 0 \) ise (reel kök yok):

\[ \frac{P(x)}{(ax^2 + bx + c)} = \frac{Ax + B}{ax^2 + bx + c} \]

Pay paydanın türevine benzer şekilde (lineer) yazılır.

🧮 Örnek Çözüm - Adım Adım

Örnek 1: Farklı Lineer Çarpanlar

\[ \int \frac{x+5}{x^2 + x - 6} \, dx \]

Adım 1: Paydayı çarpanlarına ayır: \( x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2) \)

Adım 2: Basit kesirlere ayır:

\[ \frac{x+5}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2} \]

Adım 3: Payda eşitle ve katsayıları karşılaştır:

\[ x+5 = A(x-2) + B(x+3) \]

\[ x+5 = (A+B)x + (-2A + 3B) \]

\[ A+B = 1, \quad -2A + 3B = 5 \]

Çözüm: \( A = -\frac{2}{5}, \quad B = \frac{7}{5} \)

Adım 4: İntegrali al:

\[ \int \left( \frac{-2/5}{x+3} + \frac{7/5}{x-2} \right) dx = -\frac{2}{5} \ln|x+3| + \frac{7}{5} \ln|x-2| + C \]

Örnek 2: Katlı Çarpan

\[ \int \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} \, dx \]

Ayırma şekli:

\[ \frac{x^2+1}{x(x-1)^2} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{(x-1)^2} \]

Benzer şekilde sabitler bulunur ve integral alınır.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ❌ Önce polinom bölmesi gerekip gerekmediğini kontrol et!
• ✅ Sabitleri bulmak için; x'e özel değerler verme veya katsayıları karşılaştırma yöntemini kullan.
• 📚 Basit kesirlere ayırdıktan sonra gelen integraller genellikle:
  • \( \int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C \)
  • \( \int \frac{1}{(ax+b)^n} dx \) (n>1 için üstel integral)
  • \( \int \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c} dx \) (tam kareye tamamlama ve arctan veya ln)

🎓 Özet

Basit kesirlere ayırma, rasyonel fonksiyonların integralinde sistematik ve güçlü bir araçtır. Anahtar adımlar:

1. 1️⃣ Paydanın derecesi paydan büyük mü kontrol et (değilse polinom bölmesi yap).
2. 2️⃣ Paydayı çarpanlarına ayır.
3. 3️⃣ Çarpanların türüne göre uygun basit kesir yapısını yaz.
4. 4️⃣ Sabitleri (A, B, C...) belirle.
5. 5️⃣ Basit kesirlerin integrallerini al.

Bu yöntem, integral hesabın olmazsa olmaz tekniklerinden biridir ve özellikle diferansiyel denklemler, Laplace dönüşümleri gibi ileri konularda sıkça karşınıza çıkacaktır.