Soru:
Bir cisim basit harmonik hareket yapmaktadır. Cismin konum-zaman denklemi \( x(t) = 0.5 \cos(4\pi t) \) metre olarak verilmiştir. Buna göre:
- Cismin periyodu (\(T\)) nedir?
- \( t = \frac{1}{6} \) saniye anındaki hızı (\(v\)) ve ivmesi (\(a\)) nedir?
Çözüm:
💡 Konum denklemi \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \) genel formundadır. Burada \(A = 0.5\) m (genlik), \(\omega = 4\pi\) rad/s (açısal frekans) ve \(\phi = 0\)'dır.
- ➡️ Periyot (T): \(\omega = \frac{2\pi}{T}\) formülünden, \( 4\pi = \frac{2\pi}{T} \) → \( T = \frac{2\pi}{4\pi} = 0.5 \) saniye.
- ➡️ Hız (v): Hız, konumun zamana göre türevidir. \( v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t) \).
\( t = \frac{1}{6} \) s için: \( v = -0.5 \cdot 4\pi \cdot \sin(4\pi \cdot \frac{1}{6}) = -2\pi \cdot \sin(\frac{2\pi}{3}) \).
\( \sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) → \( v = -2\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\pi\sqrt{3} \) m/s ≈ -5.44 m/s.
- ➡️ İvme (a): İvme, hızın zamana göre türevidir. \( a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t) \).
\( t = \frac{1}{6} \) s için: \( a = -0.5 \cdot (4\pi)^2 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3}) = -0.5 \cdot 16\pi^2 \cdot (-\frac{1}{2}) \).
\( a = 4\pi^2 \) m/s² ≈ 39.48 m/s².
✅ Sonuç: \( T = 0.5 \) s, \( v \approx -5.44 \) m/s, \( a \approx 39.48 \) m/s².
