Soru:
Bir cisim basit harmonik hareket yapmaktadır. Cismin konum-zaman denklemi \( x(t) = 10 \sin(2t + \frac{\pi}{6}) \) santimetre olarak verilmiştir. \( t = 0 \) anında cismin;
- Konumu (\(x\)),
- Hızı (\(v\)),
- İvmesi (\(a\))
nedir? Hesaplayınız.
Çözüm:
💡 Konum denklemi \( x(t) = A \sin(\omega t + \phi) \) formundadır. Burada \(A = 10\) cm, \(\omega = 2\) rad/s, \(\phi = \frac{\pi}{6}\) rad.
- ➡️ Konum (t=0 anında): \( x(0) = 10 \sin(2 \cdot 0 + \frac{\pi}{6}) = 10 \sin(\frac{\pi}{6}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) cm.
- ➡️ Hız (t=0 anında): Hız, konumun türevidir. \( v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \phi) \).
\( v(0) = 10 \cdot 2 \cdot \cos(0 + \frac{\pi}{6}) = 20 \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} \) cm/s ≈ 17.32 cm/s.
- ➡️ İvme (t=0 anında): İvme, hızın türevidir. \( a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t + \phi) \).
\( a(0) = -10 \cdot (2)^2 \cdot \sin(\frac{\pi}{6}) = -10 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = -20 \) cm/s².
✅ Sonuç: \( t=0 \) anında; \( x = 5 \) cm, \( v \approx 17.32 \) cm/s, \( a = -20 \) cm/s².
