Binom açılımında baştan (r+1). terim formülü

Question

Binom açılımında terimleri bulurken formülde n'nin r'li kombinasyonunu kullanıyoruz ama bu formül bize direkt kaçıncı terimi veriyor tam emin olamadım. Özellikle "baştan (r+1). terim" derken r=0'dan mı başlıyoruz, yoksa 1'den mi? Bu kısım kafamı karıştırıyor.

Answer 1

# Binom Açılımında Baştan (r+1). Terim Formülü

📚 Binom Açılımı Nedir?

Binom açılımı, iki terimli bir ifadenin kuvvetlerini cebirsel olarak ifade etmemizi sağlayan matematiksel bir yöntemdir. (a+b)ⁿ şeklindeki bir ifadenin açılımında, her terimin katsayıları ve üsleri belirli bir düzene göre sıralanır.

🧮 Binom Açılımının Genel Formu

Binom açılımının genel formülü şu şekildedir:

(a+b)ⁿ = \( \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} a^{n-r} b^{r} \)

Burada \( \binom{n}{r} \) kombinasyonunu ifade eder ve \( \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \) şeklinde hesaplanır.

🎯 Baştan (r+1). Terim Formülü

Binom açılımında baştan (r+1). terim için formül:

T_r+1 = \( \binom{n}{r} a^{n-r} b^{r} \)

📝 Önemli Noktalar:

• 🎓 r değeri 0'dan başlar - İlk terim için r=0 alınır
• 🔢 Terim numarası = r+1 - r=0 için 1. terim, r=1 için 2. terim, vb.
• 📊 Kombinasyon değeri binom katsayısını verir
• ⚖️ Üsler toplamı her zaman n'ye eşittir

🧩 Örnek Çözüm

(2x+3)⁴ ifadesinin baştan 3. terimini bulalım:

• Baştan 3. terim → r+1=3 → r=2
• n=4, a=2x, b=3
• T₃ = \( \binom{4}{2} (2x)^{4-2} (3)^{2} \)
• T₃ = \( 6 × (2x)^2 × 9 \)
• T₃ = \( 6 × 4x^2 × 9 = 216x^2 \)

💡 Pratik İpuçları

• ✅ Terim sayısını bulmak için r'yi doğru belirleyin
• ✅ Üslerin toplamının her zaman n olmasına dikkat edin
• ✅ Kombinasyon hesabında faktöriyelleri doğru hesaplayın
• ✅ İşaretlere dikkat edin (negatif terimler varsa)

🎓 Sonuç

Binom açılımında baştan (r+1). terim formülü, belirli bir terimi hızlıca bulmamızı sağlayan pratik bir yöntemdir. Bu formülü doğru uygulayarak, binom açılımının tamamını yapmadan istediğimiz terimi kolayca bulabiliriz.