📉 Bir Dizinin Kaç Terimi Negatiftir?
Bu tür sorular, genellikle bir aritmetik dizi veya geometrik dizi verilerek ve dizinin terimlerinden kaç tanesinin negatif olduğu sorularak karşımıza çıkar. Çözüm için dizinin genel terimini bulup, bu terimin negatif olma koşulunu incelememiz gerekir.
🎯 Genel Çözüm Adımları
- ✅ 1. Adım: Dizinin genel terimini \( a_n \) yazın.
- ✅ 2. Adım: \( a_n < 0 \) eşitsizliğini kurun.
- ✅ 3. Adım: Bu eşitsizliği \( n \) değişkenine göre çözün.
- ✅ 4. Adım: \( n \)'nin bir pozitif tam sayı olduğunu ve dizinin başlangıç indisini (genellikle \( n=1 \)) unutmayın. Çözüm kümesindeki tam sayı değerlerini bulun.
- ✅ 5. Adım: Bulduğunuz tam sayıların sayısı, negatif terimlerin sayısını verir.
➗ Aritmetik Dizi Örneği
Soru: Genel terimi \( a_n = 15 - 3n \) olan dizinin kaç terimi negatiftir?
Çözüm:
- 💡 Negatif terim koşulunu yazalım: \( a_n < 0 \)
- 💡 \( 15 - 3n < 0 \)
- 💡 \( -3n < -15 \)
- 💡 Eşitsizliğin her iki tarafını negatif bir sayı olan -3'e böleriz. Bu durumda eşitsizlik yön değiştirir! \( n > 5 \) elde ederiz.
Bu, 5'ten büyük tüm \( n \) değerleri için terimlerin negatif olduğu anlamına gelir. Dizi \( n=1 \)'den başladığına göre, negatif terimler \( n = 6, 7, 8, ... \) şeklinde olacaktır.
Cevap: Sonsuz sayıda terim negatiftir. (Ancak sorular genellikle belirli bir \( n \) değerine kadar sorulur, örneğin "ilk 20 terimden kaçı negatiftir?" gibi.)
✖️ Geometrik Dizi Örneği
Soru: İlk terimi 64 ve ortak çarpanı \( \frac{1}{2} \) olan geometrik dizinin kaç terimi \( \frac{1}{2} \)'den küçüktür?
Not: Burada negatiflik değil, bir değerden küçük olma durumu sorulmuş ancak mantık aynıdır.
Çözüm:
- 📌 Geometrik dizinin genel terimi: \( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)
- 📌 \( a_n = 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)
- 📌 \( a_n < \frac{1}{2} \) koşulunu yazalım: \( 64 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} < \frac{1}{2} \)
- 📌 \( 64 < \frac{1}{2} \cdot 2^{n-1} \) (Her iki tarafı \( 2^{n-1} \) ile çarparak)
- 📌 \( 64 < 2^{n-2} \)
- 📌 \( 2^6 < 2^{n-2} \)
- 📌 Tabanlar aynı olduğundan: \( 6 < n-2 \)
- 📌 \( n > 8 \)
Yani, 8'den büyük tüm \( n \) değerleri için terimler \( \frac{1}{2} \)'den küçüktür. \( n=9, 10, 11, ... \)
📌 Önemli Uyarılar
- ⚠️ Eşitsizlik Çözümü: Eşitsizliği çözerken, her iki tarafı negatif bir sayıyla çarptığınızda veya böldüğünüzde eşitsizlik yön değiştirir. Bu en sık yapılan hatadır!
- ⚠️ n'in Aralığı: \( n \) genellikle pozitif bir tam sayıdır (1, 2, 3, ...). Bulduğunuz çözümün bu aralıkta olup olmadığını kontrol edin.
- ⚠️ Sonuç Yorumu: Eğer \( n > K \) gibi bir sonuç bulursanız ve dizinin terim sayısı sonsuz kabul ediliyorsa, sonsuz sayıda negatif terim vardır. Ancak soruda "ilk 50 terim içinde" gibi bir sınırlama varsa, \( K < n \leq 50 \) eşitsizliğini çözmelisiniz.
💎 Altın Kural: Bu tarz problemlerin temeli, genel terimi bulmak ve eşitsizlik kurmak üzerine kuruludur. Adımları dikkatli takip ettiğinizde çözüm her zaman mümkündür.
