Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı Formülü - Ders Notu
📏 Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı Formülü
Analitik geometrinin temel ve pratik konularından biridir. Bu formül, koordinat düzleminde verilen bir nokta ile bir doğru arasındaki en kısa mesafeyi (dik uzaklığı) hesaplamamızı sağlar.
🎯 Formül ve Bileşenleri
Doğrunun genel denklemi Ax + By + C = 0 ve uzaklığı hesaplanacak nokta P(x₀, y₀) olsun.
P noktasının bu doğruya olan d uzaklığı aşağıdaki formülle bulunur:
\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)\)
🔍 Formülün Mantığı ve İspatı (Özet)
Formül, noktadan doğruya indirilen dikmenin uzunluğunu verir. Paydaki mutlak değer, uzaklığın her zaman pozitif bir sayı olması içindir. Payda ise doğrunun normal vektörünün ((A, B)) uzunluğudur.
📝 Adım Adım Çözüm Yöntemi
- Doğru Denklemini Kontrol Et: Doğru denklemini Ax + By + C = 0 formunda yaz.
- Nokta Koordinatlarını Belirle: P(x₀, y₀) noktasının koordinatlarını netleştir.
- Payı Hesapla: A, B, C, x₀, y₀ değerlerini |Ax₀ + By₀ + C| ifadesinde yerine koy ve mutlak değerini al.
- Paydayı Hesapla: √(A² + B²) değerini bul.
- Bölme İşlemini Yap: Payı paydaya bölerek d uzaklığını bul.
🧮 Örnek Soru Çözümü
Soru: P(2, -1) noktasının 3x - 4y + 5 = 0 doğrusuna olan uzaklığı kaç birimdir?
Çözüm:
- A = 3, B = -4, C = 5
- x₀ = 2, y₀ = -1
- Pay: |(3*2) + (-4*(-1)) + 5| = |6 + 4 + 5| = |15| = 15
- Payda: √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
- Uzaklık (d): 15 / 5 = 3 birim.
⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler
- Doğru denklemi Ax + By + C = 0 formunda olmalıdır. Değilse, bu forma getirilmelidir.
- Formülde mutlak değer unutulmamalıdır. Uzaklık negatif olamaz.
- Paydanın karekök olduğuna dikkat edilmelidir.
- Nokta doğrunun üzerindeyse uzaklık sıfır çıkar (Pay sıfır olur).
💡 Pratik Bilgiler ve Kullanım Alanları
Bu formül, sadece matematik problemlerinde değil, fizikte (noktasal yükün bir çizgisel alana uzaklığı), bilgisayar grafiklerinde, haritacılıkta ve mimaride de kullanılan temel bir araçtır.
