Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler

Question

Bu konuda denklemleri aynı anda çözmekte zorlanıyorum. Denklem çiftlerini nasıl düzenleyeceğimi ve hangi yöntemi (yerine koyma veya yok etme) kullanmam gerektiğini tam olarak anlayamadım. Özellikle bilinmeyenleri tek başına nasıl bırakacağım kafamı karıştırıyor.

Answer 1

📘 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler

Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemler, genellikle \(x\) ve \(y\) gibi iki değişken içeren ve bu değişkenlerin üssünün 1 olduğu denklemlerdir. Genel formu şu şekildedir:

\(ax + by = c\)

Burada \(a\), \(b\) ve \(c\) gerçek sayılardır ve \(a\) ile \(b\) aynı anda sıfır olamaz.

🎯 Denklem Sistemleri

Bu tür denklemler genellikle bir sistem oluşturacak şekilde verilir. Yani, iki farklı denklem birlikte ele alınır:

• \(a_1x + b_1y = c_1\)
• \(a_2x + b_2y = c_2\)

Bu sistemin çözümü, her iki denklemi de aynı anda sağlayan \((x, y)\) sıralı ikilisidir. Grafiksel olarak düşünürsek, bu iki doğrunun kesişim noktasının koordinatlarıdır.

🔍 Çözüm Yöntemleri

Bu denklem sistemlerini çözmek için birkaç temel yöntem vardır:

1. Yerine Koyma Yöntemi 📌

• ➡️ Denklemlerden birinde, değişkenlerden biri yalnız bırakılır.
• ➡️ Bu ifade, diğer denklemde yerine konularak tek bilinmeyenli bir denklem elde edilir.
• ➡️ Bulunan değer, denklemlerden birinde yerine konularak diğer bilinmeyen bulunur.

Örnek:
Denklem Sistemi:

• \(2x + y = 7\)
• \(x - y = 2\)

İkinci denklemde \(x = y + 2\) bulunur. Bu ifade birinci denklemde yerine konur:
\(2(y + 2) + y = 7\)
\(2y + 4 + y = 7\)
\(3y = 3\)
\(y = 1\)
\(x = y + 2 = 1 + 2 = 3\)
Çözüm Kümesi: \(\{(3, 1)\}\)

2. Yok Etme Yöntemi 🧮

• ➡️ Denklemler, değişkenlerden birinin katsayıları aynı (veya zıt) olacak şekilde genişletilir.
• ➡️ Denklemler taraf tarafa toplanır (veya çıkarılır) ve bu değişken yok edilir.
• ➡️ Tek bilinmeyenli denklem çözülür, bulunan değer denklemlerden birinde yerine konur.

Örnek:
Aynı denklem sistemini ele alalım:

• \(2x + y = 7\)
• \(x - y = 2\)

İki denklem taraf tarafa toplanır:
\((2x + y) + (x - y) = 7 + 2\)
\(3x = 9\)
\(x = 3\)
\(x = 3\) değeri ikinci denklemde yerine konur:
\(3 - y = 2\)
\(y = 1\)
Çözüm Kümesi: \(\{(3, 1)\}\)

💡 Önemli Noktalar

• ✅ Bir denklem sisteminin tek çözümü olabilir (kesişen doğrular).
• ✅ Çözümü olmayabilir (paralel doğrular). Bu durumda denklemler tutarsızdır.
• ✅ Sonsuz çözümü olabilir (çakışık doğrular).
• ✅ Çözümü kontrol etmek için bulduğunuz \((x, y)\) değerlerini her iki denklemde de yerine koyun ve eşitliğin sağlandığından emin olun.

Bu denklem sistemleri, günlük hayatta karşılaştığımız birçok problemi (yaş, para, karışım problemleri gibi) modellemek için sıklıkla kullanılır.