Delta = 0 (Delta eşit sıfır) ise kökler nedir (Çift katlı kök)

Question

Delta'nın sıfır olduğu durumda denklemin tek bir kökü olduğunu biliyorum ama bu neden "çift katlı kök" olarak adlandırılıyor anlamakta zorlanıyorum. Ayrıca bu kökü bulmak için formülde neden sadece -b/2a kısmını kullanıyoruz, burada mantığı tam kavrayamadım.

Answer 1

# Delta = 0 (Çift Katlı Kök) - Matematik Ders Notu

📚 İkinci Dereceden Denklemler ve Diskriminant

İkinci dereceden bir denklem genel olarak \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklinde ifade edilir. Bu denklemin köklerini bulmak için kullandığımız diskriminant (Δ) formülü:

\( Δ = b^2 - 4ac \)

Diskriminantın değeri bize denklemin kökleri hakkında önemli bilgiler verir:

• 🎯 Δ > 0 ise: Denklemin birbirinden farklı iki reel kökü vardır
• 🎯 Δ < 0 ise: Denklemin reel kökü yoktur (karmaşık kökler)
• 🎯 Δ = 0 ise: Denklemin çift katlı (eşit) iki reel kökü vardır

🔍 Delta = 0 Durumu (Çift Katlı Kök)

Diskriminantın sıfıra eşit olması durumunda, ikinci dereceden denklemin çözümü şu şekilde olur:

\( x = \frac{-b}{2a} \)

Bu durumda denklemin iki kökü birbirine eşittir ve bu köke çift katlı kök veya çakışık kök denir.

📝 Örnek 1:

\( x^2 - 4x + 4 = 0 \) denklemini inceleyelim:

• a = 1, b = -4, c = 4
• \( Δ = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0 \)
• Kök: \( x = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \)
• ✅ Çözüm: Denklemin çift katlı kökü \( x = 2 \)'dir.

📝 Örnek 2:

\( 4x^2 + 12x + 9 = 0 \) denklemini inceleyelim:

• a = 4, b = 12, c = 9
• \( Δ = (12)^2 - 4(4)(9) = 144 - 144 = 0 \)
• Kök: \( x = \frac{-12}{2(4)} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} \)
• ✅ Çözüm: Denklemin çift katlı kökü \( x = -\frac{3}{2} \)'dir.

📊 Geometrik Yorum

Delta = 0 durumunda, ikinci dereceden fonksiyonun grafiği olan parabol x-eksenine teğettir. Yani parabol x-eksenini sadece bir noktada keser ve bu noktada teğet olur.

Önemli: Çift katlı kök durumunda, kökler toplamı ve kökler çarpımı formülleri hala geçerlidir:

• Kökler toplamı: \( x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \)
• Kökler çarpımı: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)

💡 Pratik Uygulamalar

Delta = 0 durumu matematikte ve fizikte önemli uygulamalara sahiptir:

• 📈 Maksimum/minimum problemlerinde
• 🚀 Fizikte atış hareketlerinde (menzil hesaplamaları)
• 🏗️ Mühendislikte optimizasyon problemlerinde
• 📊 İstatistikte regresyon analizinde

Bu konuyu iyi anlamak, ileri matematik konularına temel oluşturması açısından oldukça önemlidir.