Doğru denklemi nasıl yazılır

Question

Doğru denklemini yazarken hangi formülü kullanmam gerektiğini karıştırıyorum. Eğimi ve bir noktası verildiğinde nasıl yazacağımı biliyorum ama iki nokta verildiğinde hangi adımları izlemeliyim? Özellikle eğim bulduktan sonra hangi noktayı seçeceğim konusunda kafam karışıyor.

Answer 1

📐 Doğru Denklemi Nedir?

Analitik geometride, bir doğrunun denklemi, o doğru üzerindeki tüm noktaların koordinatları arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade eder. Bir doğrunun denklemini yazabilmek için genellikle iki temel bilgiye ihtiyaç duyarız: eğim (m) ve bir nokta, ya da iki farklı nokta.

🎯 Eğim-Kesim Noktası Formu

Bu, en yaygın kullanılan doğru denklemidir. Eğer bir doğrunun eğimini (m) ve y-eksenini kestiği noktayı (b) biliyorsak, denklemi şu şekilde yazarız:

\( y = mx + b \)

• 📌 m: Doğrunun eğimi. Pozitifse doğru sağa yatık, negatifse sola yatıktır.
• 📌 b: Doğrunun y-eksenini kestiği noktanın y koordinatıdır.

💡 Eğim ve Bir Nokta Biliniyorsa

Eğer bir doğrunun eğimini (m) ve üzerindeki herhangi bir noktayı \((x_1, y_1)\) biliyorsak, denklemi şu formülle yazabiliriz:

\( y - y_1 = m(x - x_1) \)

Bu, Nokta-Eğim Formu olarak adlandırılır.

➡️ İki Nokta Biliniyorsa

Eğer bir doğru üzerindeki iki farklı noktayı biliyorsak, önce eğimi hesaplarız, sonra nokta-eğim formunu kullanırız.

Noktalarımız \(A(x_1, y_1)\) ve \(B(x_2, y_2)\) olsun.

1. ✅ Eğimi Hesapla: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
2. ✅ Denklemi Yaz: Hesaplanan m eğimini ve noktalardan birini (örneğin A noktasını) nokta-eğim formülünde yerine koy. \( y - y_1 = m(x - x_1) \)

📌 Standart Form

Doğru denklemlerini bazen standart formda da yazabiliriz. Bu form şu şekildedir:

\( Ax + By = C \)

Burada A, B ve C gerçek sayılardır ve genellikle A pozitif bir tam sayı olacak şekilde sadeleştirilir.

🧩 Örnek Uygulama

Problem: (2, 1) ve (4, 5) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.

1. 🎯 Eğimi Hesapla: \( m = \frac{5 - 1}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2 \)
2. 🎯 Denklemi Yaz: Eğim (m=2) ve (2, 1) noktasını kullanarak nokta-eğim formülünü uygula. \( y - 1 = 2(x - 2) \)
3. 🎯 Sadeleştir: \( y - 1 = 2x - 4 \) \( y = 2x - 3 \)

Sonuç olarak, doğrunun eğim-kesim noktası formundaki denklemi \( y = 2x - 3 \)'tür.