📐 Doğrunun Noktaya Göre Simetriği
Bir doğrunun bir noktaya göre simetriğini bulmak için, doğru üzerindeki her noktanın verilen noktaya göre simetriğini alırız. Bu simetrik noktaların birleşimi bize yeni doğrunun denklemini verir.
🎯 Adımlar:
- 📌 1. Adım: Doğru denklemini parametrik formda yazın: \( x = x_0 + at \), \( y = y_0 + bt \)
- 📌 2. Adım: Doğru üzerindeki herhangi bir \( P(x, y) \) noktasının, \( O(h, k) \) noktasına göre simetriği olan \( P'(x', y') \) noktasını bulun:
- \( x' = 2h - x \)
- \( y' = 2k - y \)
- 📌 3. Adım: \( x \) ve \( y \)'yi \( x' \) ve \( y' \) cinsinden ifade edin ve orijinal doğru denkleminde yerine koyun.
💡 Örnek:
\( 2x + 3y - 6 = 0 \) doğrusunun \( O(1, 2) \) noktasına göre simetriğini bulalım.
- Doğru üzerindeki bir \( P(x, y) \) noktasının \( O(1, 2) \)'ye göre simetriği \( P'(x', y') \) olsun:
- \( x' = 2(1) - x = 2 - x \) ➡️ \( x = 2 - x' \)
- \( y' = 2(2) - y = 4 - y \) ➡️ \( y = 4 - y' \)
- Bu ifadeleri orijinal denklemde yerine koyalım:
- \( 2(2 - x') + 3(4 - y') - 6 = 0 \)
- \( 4 - 2x' + 12 - 3y' - 6 = 0 \)
- \( -2x' - 3y' + 10 = 0 \) veya \( 2x' + 3y' - 10 = 0 \)
Simetriği alınan doğrunun denklemi: \( 2x + 3y - 10 = 0 \)**
🔄 Doğrunun Doğruya Göre Simetriği
Bir doğrunun başka bir doğruya göre simetriğini bulmak daha karmaşıktır. Burada, birinci doğru üzerindeki her noktanın ikinci doğruya (simetri eksenine) göre simetriği alınır.
🎯 Adımlar:
- 📌 1. Adım: Simetri ekseni doğrusunun eğimini (\( m_2 \)) bulun.
- 📌 2. Adım: Orijinal doğrunun eğimini (\( m_1 \)) bulun.
- 📌 3. Adım: Simetri eksenine göre simetrik iki doğrunun eğimleri arasındaki ilişkiyi kullanın:
- \( \tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right| = \left| \frac{m_2 - m_s}{1 + m_2m_s} \right| \)
Burada \( m_s \), simetriği alınacak doğrunun eğimidir.
- 📌 4. Adım: İki doğrunun kesişim noktasını bulun. Bu nokta, simetri ekseni üzerinde olduğu için simetrik doğruların da bu noktadan geçmesi gerekir.
- 📌 5. Adım: Bulunan eğim (\( m_s \)) ve kesişim noktasını kullanarak simetrik doğrunun denklemini yazın.
💡 Alternatif (Daha Pratik) Yöntem:
Doğru üzerindeki iki noktanın simetri eksenine göre simetrilerini alıp, bu iki noktadan geçen doğrunun denklemini yazmak.
💡 Örnek:
\( d_1: 2x - y + 1 = 0 \) doğrusunun \( d_2: x + y - 2 = 0 \) doğrusuna göre simetriğini bulalım.
- 📌 1. Adım: \( d_1 \) üzerinde iki nokta seçelim:
- \( x = 0 \) için: \( 2(0) - y + 1 = 0 \) ➡️ \( y = 1 \) ➡️ \( A(0, 1) \)
- \( x = 1 \) için: \( 2(1) - y + 1 = 0 \) ➡️ \( y = 3 \) ➡️ \( B(1, 3) \)
- 📌 2. Adım: Bu noktaların \( d_2 \)'ye göre simetrilerini bulalım:
- A(0, 1) noktasının simetriği:
- \( d_2 \)'ye dik ve A'dan geçen doğru: Eğim \( 1 \) (çünkü \( d_2 \)'nin eğimi -1) ➡️ Denklem: \( y - 1 = 1(x - 0) \) ➡️ \( y = x + 1 \)
- Bu doğru ile \( d_2 \)'nin kesişimi: \( x + (x + 1) - 2 = 0 \) ➡️ \( 2x - 1 = 0 \) ➡️ \( x = 0.5 \), \( y = 1.5 \) ➡️ \( K(0.5, 1.5) \)
- A'nın simetriği \( A' \): \( A' = 2K - A = (1, 2) \)
- B(1, 3) noktasının simetriği:
- \( d_2 \)'ye dik ve B'den geçen doğru: Eğim \( 1 \) ➡️ Denklem: \( y - 3 = 1(x - 1) \) ➡️ \( y = x + 2 \)
- Bu doğru ile \( d_2 \)'nin kesişimi: \( x + (x + 2) - 2 = 0 \) ➡️ \( 2x = 0 \) ➡️ \( x = 0 \), \( y = 2 \) ➡️ \( L(0, 2) \)
- B'nin simetriği \( B' \): \( B' = 2L - B = (-1, 1) \)
- 📌 3. Adım: \( A'(1, 2) \) ve \( B'(-1, 1) \) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım:
- Eğim: \( m = \frac{1 - 2}{-1 - 1} = \frac{-1}{-2} = 0.5 \)
- Denklem: \( y - 2 = 0.5(x - 1) \) ➡️ \( y = 0.5x + 1.5 \) veya \( x - 2y + 3 = 0 \)
Simetriği alınan doğrunun denklemi: \( x - 2y + 3 = 0 \)**
📚 Önemli Notlar:
- ✅ Simetri ekseni, iki doğrunun açıortayıdır.
- ✅ Simetrik doğrular, simetri eksenine eşit uzaklıktadır.
- ✅ Özel durum: Simetri ekseni koordinat eksenlerinden biri ise, işlemler daha basitleşir.
