Doğrusal Fonksiyonlarda Tanım ve Görüntü Kümesi Nasıl Belirlenir? Örnekler ve konu özeti

Question

Doğrusal fonksiyonlarda tanım kümesi genellikle tüm reel sayılar oluyor ama bazı sorularda kısıtlı aralıklar verilebiliyor. Görüntü kümesini bulmak için fonksiyonun denklemini yazıp, tanım kümesindeki değerleri yerine koyuyoruz ama bazen grafiğe bakarak da çözebiliyoruz. Özellikle parçalı fonksiyonlarda kafam karışıyor, bu konuda örneklerle pratik yapmak istiyorum.

Answer 1

Doğrusal Fonksiyonlarda Tanım ve Görüntü Kümesi

Doğrusal fonksiyonlar, matematikte en temel fonksiyon türlerinden biridir. Genel formu:

\( f(x) = ax + b \)

şeklindedir. Burada:

• a: Eğim (slope)
• b: Y-keseni (y-intercept)

Tanım Kümesi (Domain)

Bir fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun tanımlı olduğu x değerlerinin kümesidir. Doğrusal fonksiyonlar için:

• Tanım kümesi genellikle tüm reel sayılar (\( \mathbb{R} \)) olarak alınır.
• Ancak, özel bir durum belirtilmediği sürece \( f(x) = ax + b \) fonksiyonu her \( x \) değeri için tanımlıdır.

Örnek: \( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun tanım kümesi: \( (-\infty, +\infty) \) veya \( \mathbb{R} \).

Görüntü Kümesi (Range)

Görüntü kümesi, fonksiyonun alabileceği y değerlerinin kümesidir. Doğrusal fonksiyonlar için:

• Eğer a ≠ 0 ise, görüntü kümesi tüm reel sayılar (\( \mathbb{R} \)) olur.
• Eğer a = 0 ise (sabit fonksiyon), görüntü kümesi sadece {b} olur.

Örnekler:

• \( f(x) = 5x - 2 \) için görüntü kümesi: \( \mathbb{R} \).
• \( f(x) = 4 \) (sabit fonksiyon) için görüntü kümesi: \( \{4\} \).

Özet

• Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \) (tüm reel sayılar).
• Görüntü Kümesi: Eğim sıfırdan farklı ise \( \mathbb{R} \), sıfır ise sabit bir değer.

Answer 2

Doğrusal Fonksiyonlarda Tanım ve Görüntü Kümesi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = 3x + 2 \) doğrusal fonksiyonu için tanım kümesi \( \mathbb{R} \) olarak verilmiştir. Buna göre görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( \mathbb{R^+} \)
b) \( \mathbb{R^-} \)
c) \( \mathbb{R} \)
d) \( [2, \infty) \)
e) \( (-\infty, 2] \)
Cevap: c) \( \mathbb{R} \)
Çözüm: Doğrusal fonksiyonların tanım kümesi \( \mathbb{R} \) ise görüntü kümesi de \( \mathbb{R} \) olur. Çünkü her reel sayı için bir çıkış değeri vardır.

Soru 2: \( g(x) = -5x + 1 \) fonksiyonunun tanım kümesi \( [-2, 3] \) aralığı ile sınırlandırılırsa, görüntü kümesi hangi aralıkta olur?
a) \( [-14, 11] \)
b) \( [11, -14] \)
c) \( [1, 11] \)
d) \( [-14, 1] \)
e) \( (-\infty, \infty) \)
Cevap: a) \( [-14, 11] \)
Çözüm: Fonksiyon azalan olduğu için \( x = -2 \)'de maksimum (\( g(-2) = 11 \)), \( x = 3 \)'te minimum (\( g(3) = -14 \)) değer alır. Görüntü kümesi bu iki değer arasındadır.

Soru 3: Bir doğrusal fonksiyonun tanım kümesi \( \{1, 2, 3\} \) ve görüntü kümesi \( \{4, 7, 10\} \) ise bu fonksiyonun kuralı aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) \( f(x) = x + 3 \)
b) \( f(x) = 2x + 2 \)
c) \( f(x) = 3x + 1 \)
d) \( f(x) = -x + 5 \)
e) \( f(x) = 4x \)
Cevap: c) \( f(x) = 3x + 1 \)
Çözüm: \( x = 1 \) için \( f(1) = 4 \), \( x = 2 \) için \( f(2) = 7 \) ve \( x = 3 \) için \( f(3) = 10 \) değerlerini sağlayan tek seçenek \( f(x) = 3x + 1 \)'dir.

Answer 3

Doğrusal Fonksiyonlarda Tanım ve Görüntü Kümesi Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. \( f(x) = 2x + 3 \) fonksiyonunun tanım kümesi genellikle ______ olarak alınır.

2. \( f(x) = -5x + 1 \) fonksiyonunun görüntü kümesi ______ şeklinde ifade edilir.

Doğru/Yanlış

3. \( f(x) = 3x - 4 \) fonksiyonunun tanım kümesi \( \mathbb{R} \)'dir. (D/Y)

4. \( f(x) = \frac{1}{2}x + 7 \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( \mathbb{R} \) değildir. (D/Y)

Eşleştirme

Aşağıdaki fonksiyonları tanım ve görüntü kümeleriyle eşleştirin.

• a) \( f(x) = x + 5 \)
• b) \( f(x) = -3x \)
• c) \( f(x) = 0x + 2 \)

• 1. Tanım: \( \mathbb{R} \), Görüntü: \( \{2\} \)
• 2. Tanım: \( \mathbb{R} \), Görüntü: \( \mathbb{R} \)

Açık Uçlu Sorular

5. \( f(x) = 4x - 1 \) fonksiyonunun tanım kümesini ve görüntü kümesini yazınız.

6. \( f(x) = -x + 8 \) fonksiyonunun görüntü kümesi neden \( \mathbb{R} \)'dir? Kısaca açıklayınız.

Kısa Test

7. Hangisi doğrusal fonksiyonların tanım kümesi olamaz?

a) \( \mathbb{R} \)   b) \( \mathbb{Z} \)   c) \( \mathbb{N} \)   d) Hiçbiri

8. \( f(x) = 7 \) sabit fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?

a) \( \mathbb{R} \)   b) \( \{7\} \)   c) \( [0,7] \)   d) \( \emptyset \)

Cevaplar:

1: \( \mathbb{R} \)

2: \( \mathbb{R} \)

3: D

4: Y

5: Tanım: \( \mathbb{R} \), Görüntü: \( \mathbb{R} \)

6: Doğrusal fonksiyonlar tüm reel sayıları kapsar.

7: d

8: b