dönüşüm (öteleme-dönme) konu anlatımı

Question

Hocam, dönüşüm geometrisi konusunu anladım gibi ama öteleme ve dönmeyi bir arada yapınca kafam karışıyor. Hangi sırayla yapacağımı, formülleri nasıl uygulayacağımı tam kestiremiyorum. Bir de, bu dönüşümleri yaparken koordinatları doğru şekilde nasıl bulacağım konusunda biraz yardıma ihtiyacım var.

Answer 1

🌈 Dönüşüm Geometrisi: Öteleme ve Dönme Konu Anlatımı (Ders Notu)

Dönüşüm geometrisi, şekillerin uzaydaki yerini ve yönünü değiştiren işlemleri inceler. Bu işlemler, bir şeklin özelliklerini (boyut, şekil, alan vb.) koruyabilir veya değiştirebilir. Bu ders notunda, dönüşüm geometrisinin temel taşlarından olan öteleme ve dönme konularına odaklanacağız.

➡️ Öteleme (Translation)

Öteleme, bir şeklin her noktasının aynı yönde ve aynı mesafede hareket ettirilmesidir. Başka bir deyişle, şeklin konumu değişir, ancak boyutu, şekli veya yönü değişmez. Öteleme, bir vektör ile tanımlanır. Bu vektör, her noktanın ne kadar ve hangi yönde hareket edeceğini belirtir.

• 📍 Öteleme Vektörü: (a, b) şeklinde gösterilir. Burada 'a', x eksenindeki (yatay) hareketi, 'b' ise y eksenindeki (dikey) hareketi temsil eder.
• 📐 Öteleme Formülü: Bir P(x, y) noktasının (a, b) vektörü ile ötelenmesi sonucu elde edilen yeni nokta P'(x + a, y + b) olur.

Örnek 1:

A(2, 3) noktasını (3, -1) vektörü ile öteleyelim.

A'(2 + 3, 3 + (-1)) = A'(5, 2)

Dolayısıyla, A noktasının ötelenmiş hali A'(5, 2) noktasıdır.

Örnek 2:

Bir ABCD dikdörtgeninin köşe noktaları A(1, 1), B(4, 1), C(4, 3) ve D(1, 3)'tür. Bu dikdörtgeni (-2, 2) vektörü ile öteleyelim.

• 🅰️ A'(1 - 2, 1 + 2) = A'(-1, 3)
• 🅱️ B'(4 - 2, 1 + 2) = B'(2, 3)
• 🅲️ C'(4 - 2, 3 + 2) = C'(2, 5)
• 🅳️ D'(1 - 2, 3 + 2) = D'(-1, 5)

Ötelenmiş dikdörtgenin köşe noktaları A'(-1, 3), B'(2, 3), C'(2, 5) ve D'(-1, 5) olur.

🔄 Dönme (Rotation)

Dönme, bir şeklin sabit bir nokta etrafında belirli bir açıyla döndürülmesidir. Bu sabit noktaya dönme merkezi denir. Dönme, saat yönünde veya saat yönünün tersine olabilir. Dönme açısı genellikle derece cinsinden ifade edilir.

• 📍 Dönme Merkezi: Genellikle koordinat sisteminin merkezi (0, 0) noktasıdır.
• 📐 Dönme Açısı: Şeklin ne kadar döndürüleceğini belirtir. Pozitif açılar saat yönünün tersine, negatif açılar ise saat yönünde dönmeyi ifade eder.
• 📝 Dönme Formülleri (Merkez Orijin İse):
  • ➡️ 90° (π/2 radyan) Saat Yönünün Tersine: P'( -y, x)
  • ➡️ 180° (π radyan): P'(-x, -y)
  • ➡️ 270° (3π/2 radyan) Saat Yönünün Tersine: P'(y, -x)

Örnek 3:

A(1, 2) noktasını orijin etrafında 90° saat yönünün tersine döndürelim.

A'(-2, 1)

Dolayısıyla, A noktasının 90° döndürülmüş hali A'(-2, 1) noktasıdır.

Örnek 4:

B(3, -1) noktasını orijin etrafında 180° döndürelim.

B'(-3, 1)

Dolayısıyla, B noktasının 180° döndürülmüş hali B'(-3, 1) noktasıdır.

Umarım bu ders notu, öteleme ve dönme konularını anlamanıza yardımcı olmuştur. Başarılar!