Matematikte eşitsizlikler, denklemlerden farklı olarak, bazı özel kurallara sahiptir. Bunlardan en kritik olanı, bir eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayı ile çarpıldığında veya bölündüğünde eşitsizlik yönünün değişmesidir. Bu kuralı anlamak, eşitsizlik çözümlerinde doğru sonuca ulaşmanın anahtarıdır.
Sayı doğrusunda düşünelim. Örneğin, \( 2 < 5 \) ifadesi doğrudur. Her iki tarafı -1 ile çarptığımızda sonuçlar \( -2 \) ve \( -5 \) olur. Sayı doğrusunda \( -5 \), \( -2 \)'nin solunda, yani daha küçüktür. Bu nedenle doğru ifade \( -2 > -5 \) olur. Görüldüğü gibi "<" işareti ">" işaretine dönüştü.
Mantığı: Negatif sayı ile çarpma/bölme, sayı doğrusundaki sıralamayı tersine çevirir.
\( -3x \le 12 \) eşitsizliğini çözelim.
Amacımız \( x \)'i yalnız bırakmak. Bunun için her iki tarafı \( x \)'in katsayısı olan -3'e böleceğiz. Katsayı negatif olduğu için eşitsizlik yön değiştirecek:
\( \frac{-3x}{-3} \ge \frac{12}{-3} \)
\( x \ge -4 \)
Çözüm: \( x \), -4'e eşit veya -4'ten büyük tüm sayılardır.
\( \frac{x}{-2} > 1 \) eşitsizliğini çözelim.
Her iki tarafı -2 ile çarparak paydadan kurtuluruz. Negatif sayı ile çarptığımız için yön değişir:
\( -2 \cdot \frac{x}{-2} < 1 \cdot (-2) \)
\( x < -2 \)
Çözüm: \( x \), -2'den küçük tüm sayılardır.
Eşitsizliklerde yön değiştirme kuralı, ilk bakışta sezgisel gelmeyebilir ancak sayı doğrusu üzerinde mantığı kavrandığında sağlam bir matematiksel kural olduğu görülür. Bu kuralı içselleştirmek, hem basit hem de karmaşık eşitsizlik problemlerini hatasız çözebilmenin temelini oluşturur. Unutmayın: Negatif bir sayı görürseniz, otomatik olarak "yön değişecek mi?" sorusunu kendinize sorun!
