Eşkenar üçgende alan konu anlatımı, kısa özet

Question

Eşkenar üçgenin alanını bulmak için genelde bir kenar uzunluğunu bilmek yeterli oluyor ama formülü tam olarak oturtamadım. Kenar uzunluğunu kullanarak yüksekliği nasıl bulduğumuzu ve alan formülüne nasıl yerleştirdiğimizi basitçe anlatan bir özet arıyorum. Formüldeki karekök kısmı da kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Eşkenar Üçgenin Alanı

Bir eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit ve tüm iç açıları 60° olan üçgendir. Bu özel üçgenin alanını hesaplamak için birkaç farklı yöntem bulunur.

1. Standart Alan Formülü

Bir kenarının uzunluğu \( a \) olan bir eşkenar üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

\( \text{Alan} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)

Bu formül, genel üçgen alan formülünden (\( \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \)) türetilmiştir.

2. Formülün Türetilişi

Eşkenar üçgenin yüksekliği, kenarortay ve açıortaydır. Pisagor teoremi kullanılarak yükseklik (\( h \)) bulunabilir:

• Yükseklik, üçgeni iki eş dik üçgene ayırır.
• Hipotenüs \( a \), bir dik kenar \( \frac{a}{2} \) olur.
• Pisagor teoremine göre: \( h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \)
• Bu denklem çözüldüğünde: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) elde edilir.

Genel alan formülünde yerine koyarsak:

\( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)

3. Örnek Soru

Soru: Bir kenarı 10 cm olan eşkenar üçgenin alanı kaç cm²'dir?

Çözüm:

Formül: \( \text{Alan} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)

\( \text{Alan} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3} \) cm²

Kısa Özet

• Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit ve tüm açıları 60°'dir.
• Temel Alan Formülü: \( \text{Alan} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)
• Bu formül, yüksekliğin (\( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \)) genel alan formülünde yerine konulmasıyla elde edilir.
• Formülü ezberlemek, eşkenar üçgen sorularını hızlı çözmek için çok faydalıdır.