🌈 Eşlenik Nedir?
Eşlenik, matematikte özellikle köklü ifadelerde ve karmaşık sayılarda karşımıza çıkan önemli bir kavramdır. Bir sayının eşleniği, o sayıyla çarpıldığında daha basit bir sonuç veren sayıdır diyebiliriz.
💡 Köklü İfadelerde Eşlenik
Köklü ifadelerde eşlenik, genellikle paydayı kökten kurtarmak için kullanılır. Paydada $\sqrt{a}$ gibi bir ifade varsa, bu ifadeyi $\sqrt{a}$ ile çarparak kökten kurtarabiliriz. Ancak, paydayı çarptığımızda payı da aynı sayıyla çarpmamız gerekir.
* 🍎
Örnek: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ifadesini ele alalım. Paydayı kökten kurtarmak için hem payı hem de paydayı $\sqrt{2}$ ile çarparız:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Eğer paydada $a + \sqrt{b}$ veya $a - \sqrt{b}$ şeklinde bir ifade varsa, eşlenik olarak sırasıyla $a - \sqrt{b}$ veya $a + \sqrt{b}$ ifadelerini kullanırız. Bunun nedeni, iki kare farkı özdeşliğinden faydalanmaktır: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
* 🍎
Örnek: $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ifadesini ele alalım. Paydayı kökten kurtarmak için hem payı hem de paydayı $2 - \sqrt{3}$ ile çarparız:
$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$
💡 Karmaşık Sayılarda Eşlenik
Karmaşık sayılarda eşlenik, sanal kısmı işaret değiştirmiş halidir. Yani, $a + bi$ karmaşık sayısının eşleniği $a - bi$'dir. Burada $a$ reel kısım, $b$ ise sanal kısımdır ve $i = \sqrt{-1}$'dir.
* 🍎
Örnek: $3 + 4i$ karmaşık sayısının eşleniği $3 - 4i$'dir.
Karmaşık sayılarda eşlenik, bölme işlemlerinde paydayı reel sayı yapmak için kullanılır.
* 🍎
Örnek: $\frac{1}{1 + i}$ ifadesini ele alalım. Paydayı reel yapmak için hem payı hem de paydayı $1 - i$ ile çarparız:
$\frac{1}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{1 - i}{1 - i^2} = \frac{1 - i}{1 - (-1)} = \frac{1 - i}{2}$
🎯 Yeni Nesil TYT Sorularına Hazırlık
Yeni nesil TYT soruları, genellikle kavram bilgisini günlük hayatla ilişkilendiren, problem çözme becerilerini ölçen sorulardır. Eşlenik kavramı da bu tür sorularda karşımıza çıkabilir. İşte eşlenik kavramını içeren yeni nesil soru örnekleri ve çözüm stratejileri:
📝 Soru Tipi 1: Köklü İfadelerle Modelleme
Bir bahçıvan, kenar uzunlukları $\sqrt{5} + \sqrt{2}$ metre ve $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ metre olan dikdörtgen şeklinde bir çiçek tarhı tasarlıyor. Bu tarhın alanını bulunuz.
* 🍎
Çözüm: Dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıdır. Yani, alan $(\sqrt{5} + \sqrt{2})(\sqrt{5} - \sqrt{2})$'dir. Bu ifade, iki kare farkı özdeşliğine benziyor. Dolayısıyla, alan $5 - 2 = 3$ metrekaredir.
📝 Soru Tipi 2: Karmaşık Sayılarla Geometrik Yorum
Karmaşık düzlemde $z = 1 + i$ karmaşık sayısını gösteren noktanın, eşleniği olan $\bar{z}$ sayısına göre simetriği olan noktanın koordinatlarını bulunuz.
* 🍎
Çözüm: $z = 1 + i$ ise, $\bar{z} = 1 - i$'dir. Karmaşık düzlemde bir noktanın eşleniği, reel eksene göre simetriğidir. Yani, $1 + i$'nin reel eksene göre simetriği $1 - i$'dir. Dolayısıyla, cevap $(1, -1)$ noktasıdır.
📝 Soru Tipi 3: Eşlenik İle İlgili İşlemler İçeren Problemler
$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$ işleminin sonucu kaçtır?
* 🍎
Çözüm: İlk kesri $\sqrt{7} + \sqrt{5}$ ile, ikinci kesri $\sqrt{7} - \sqrt{5}$ ile genişletelim:
$\frac{2(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} - \frac{3(\sqrt{7} - \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{2\sqrt{7} + 2\sqrt{5}}{2} - \frac{3\sqrt{7} - 3\sqrt{5}}{2} = \sqrt{7} + \sqrt{5} - \frac{3}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{5} = -\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{5}{2}\sqrt{5}$
Bu tür soruları çözerken, eşlenik kavramını doğru bir şekilde uygulamak ve işlem hatalarından kaçınmak önemlidir. Bol bol pratik yaparak, bu tür soruları kolaylıkla çözebilirsiniz!
