Fonksiyonlar, matematikte ve bilgisayar bilimlerinde temel bir kavramdır. Bir fonksiyon, belirli bir girdi kümesini (tanım kümesi) alır ve her bir girdi için belirli bir çıktı kümesine (değer kümesi) eşler. Bu eşleme, belirli bir kural veya formül aracılığıyla yapılır.
Bir fonksiyonu şu şekilde tanımlayabiliriz:
Örneğin, f(x) = x + 2 fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon, herhangi bir x girdisini alır ve ona 2 ekleyerek bir çıktı üretir. Eğer tanım kümesi tüm reel sayılar ise, değer kümesi de tüm reel sayılar olacaktır.
Fonksiyonlar genellikle şu şekilde gösterilir:
f: A → B
Burada:
f(x) ise, x girdisi için fonksiyonun ürettiği çıktıyı temsil eder.
Fonksiyonlar, çeşitli özelliklerine göre farklı türlere ayrılabilirler.
Bir fonksiyonun bire bir (enjektif) olması için, tanım kümesindeki farklı elemanların, değer kümesinde farklı elemanlara eşlenmesi gerekir. Yani, eğer f(x₁) = f(x₂) ise, x₁ = x₂ olmalıdır.
Bir fonksiyonun örten (sürjektif) olması için, değer kümesindeki her elemanın, tanım kümesinde bir karşılığı olması gerekir. Yani, değer kümesindeki her y için, f(x) = y olacak şekilde bir x bulunmalıdır.
Bir fonksiyon hem bire bir hem de örten ise, bu fonksiyona bijektif fonksiyon denir. Bijektif fonksiyonlar, tanım kümesi ile değer kümesi arasında tam bir eşleme sağlarlar.
Fonksiyonlarla çeşitli matematiksel işlemler yapılabilir.
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f - g)(x) = f(x) - g(x)
(f * g)(x) = f(x) * g(x)
(f / g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0
Bir f fonksiyonunun tersi (f⁻¹), f fonksiyonunun yaptığı eşlemeyi tersine çevirir. Yani, eğer f(x) = y ise, f⁻¹(y) = x olur. Bir fonksiyonun tersinin olabilmesi için, o fonksiyonun bire bir ve örten (bijektif) olması gerekir.
