➕ Geometrik Dizi Nedir?
Geometrik dizi, her terimin bir önceki terimin sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edildiği bir sayı dizisidir. Bu sabite
ortak çarpan denir ve genellikle $r$ ile gösterilir.
- 🔢 Tanım: Bir geometrik dizide, herhangi bir terim kendinden önceki terimin $r$ katıdır.
- ➗ Ortak Çarpan: Dizideki herhangi bir terimi bir önceki terime bölerek ortak çarpanı bulabiliriz. Örneğin, $a_n / a_{n-1} = r$.
➗ Geometrik Dizinin Genel Terimi
Bir geometrik dizinin genel terimi, dizinin herhangi bir terimini bulmamızı sağlayan formüldür.
Genel terim formülü şöyledir:
$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
- 📝 $a_n$: Dizinin $n$. terimi
- 1️⃣ $a_1$: Dizinin ilk terimi
- ➗ $r$: Ortak çarpan
- 🔢 $n$: Terim sayısı (kaçıncı terim olduğunu gösterir)
❓ Örnek Soru
İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5. terimini bulun.
Çözüm:
Formülü uygulayalım: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
$a_5 = 3 \cdot 2^{5-1}$
$a_5 = 3 \cdot 2^4$
$a_5 = 3 \cdot 16$
$a_5 = 48$
Yani, dizinin 5. terimi 48'dir.
➕ Geometrik Dizinin İlk n Teriminin Toplamı
Geometrik bir dizinin ilk $n$ teriminin toplamını bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:
$S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$ (eğer $r \neq 1$ ise)
- ➕ $S_n$: İlk $n$ terimin toplamı
- 1️⃣ $a_1$: Dizinin ilk terimi
- ➗ $r$: Ortak çarpan
- 🔢 $n$: Terim sayısı
❓ Örnek Soru
İlk terimi 2 ve ortak çarpanı 3 olan bir geometrik dizinin ilk 4 teriminin toplamını bulun.
Çözüm:
Formülü uygulayalım: $S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$
$S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 3^4}{1 - 3}$
$S_4 = 2 \cdot \frac{1 - 81}{-2}$
$S_4 = 2 \cdot \frac{-80}{-2}$
$S_4 = 2 \cdot 40$
$S_4 = 80$
Yani, dizinin ilk 4 teriminin toplamı 80'dir.
♾️ Sonsuz Geometrik Dizi
Eğer bir geometrik dizinin ortak çarpanının mutlak değeri 1'den küçükse ($|r| < 1$), dizi sonsuza giderken terimler küçülür ve toplam belirli bir değere yaklaşır. Bu tür dizilere
yakınsak dizi denir.
Sonsuz geometrik dizinin toplamı:
$S = \frac{a_1}{1 - r}$ (eğer $|r| < 1$ ise)
- ♾️ $S$: Sonsuz terim toplamı
- 1️⃣ $a_1$: Dizinin ilk terimi
- ➗ $r$: Ortak çarpan
❓ Örnek Soru
İlk terimi 1 ve ortak çarpanı 1/2 olan sonsuz geometrik dizinin toplamını bulun.
Çözüm:
Formülü uygulayalım: $S = \frac{a_1}{1 - r}$
$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$
$S = \frac{1}{\frac{1}{2}}$
$S = 2$
Yani, dizinin sonsuz toplamı 2'dir.
