İki küp farkı (a³-b³)

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Formülün nereden geldiğini ve nasıl kullanıldığını tam olarak kavrayamadım. Özellikle sorularda hangi durumlarda bu formülü uygulayacağımı karıştırıyorum.

Answer 1

📐 İki Küp Farkı: \( a^3 - b^3 \)

İki küp farkı, cebirde sıkça karşılaştığımız ve çarpanlara ayırmada kullandığımız önemli bir özdeşliktir. İki sayının küplerinin farkını ifade eder.

🎯 Formül ve Açılımı

İki küp farkının formülü şu şekildedir:

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

🔍 Formülün İspatı

Bu formülü ispatlamak için sağ taraftaki çarpımı açalım:

\( (a - b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 - b \cdot ab - b \cdot b^2 \)

\( = a^3 + a^2b + ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 \)

Benzer terimleri topladığımızda \( +a^2b \) ve \( -a^2b \), ayrıca \( +ab^2 \) ve \( -ab^2 \) birbirini götürür.

Geriye kalan ifade: \( a^3 - b^3 \)** olur.

✅ Böylece formülümüzün doğruluğunu kanıtlamış olduk.

💡 Formülü Hatırlama Yolu

• 🧠 Birinci çarpan: Doğrudan küpü alınan terimlerin farkıdır: \( (a - b) \)
• 🧠 İkinci çarpan: Üç terimden oluşan bir ifadedir. Sırasıyla:
  • ➡️ Birinci terimin karesi: \( a^2 \)
  • ➡️ İki terimin çarpımı: \( ab \)
  • ➡️ İkinci terimin karesi: \( b^2 \)

Kısacası ikinci çarpan için "birincinin karesi, artı çarpımları, artı ikincinin karesi" kuralını kullanabilirsin.

📚 Örnek Sorular ve Çözümler

🎯 Örnek 1:

\( x^3 - 8 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

💡 Çözüm: 8 sayısı \( 2^3 \) şeklinde yazılabilir. O halde \( a = x \) ve \( b = 2 \) olur.

Formülü uygularsak:

\( x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) \)

\( x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \)**

🎯 Örnek 2:

\( 27a^3 - 64b^3 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

💡 Çözüm: 27 sayısı \( 3^3 \), 64 sayısı ise \( 4^3 \) şeklinde yazılabilir.

\( 27a^3 = (3a)^3 \) ve \( 64b^3 = (4b)^3 \)

O halde \( a = 3a \) ve \( b = 4b \) olur. (Buradaki a'ları karıştırmamak için dikkatli ol!)

Formülü uygularsak:

\( (3a)^3 - (4b)^3 = (3a - 4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2) \)

\( = (3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2) \)

Sonuç: \( 27a^3 - 64b^3 = (3a - 4b)(9a^2 + 12ab + 16b^2) \)**

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ❌ İki küp farkı formülünü, iki kare farkı formülü (\( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \)) ile karıştırma!
• ✅ Formül sadece fark için geçerlidir. İki küp toplamı (\( a^3 + b^3 \)) için farklı bir formül olduğunu unutma.
• 🔢 Sayıların küp köklerini doğru bulduğundan emin ol. (Örneğin, 27'nin küp kökü 3'tür.)

✨ Kısa Özet

İki küp farkı formülü, \( a^3 - b^3 \) şeklindeki ifadeleri çarpanlarına ayırmak için kullanılan güçlü bir araçtır. Formülü doğru bir şekilde uygulayabilmek için terimleri küp şeklinde yazmak ve ikinci çarpanın işaretlerine dikkat etmek gerekir.

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)