İki küp toplamı (a³+b³)

Question

Bu özdeşliği formüle dökerken nerede hata yaptığımı bir türlü anlayamıyorum. Çarpanlara ayırma kısmında a³+b³'ü (a+b)³ ile karıştırıyorum sanırım. Formülü doğru uygulayıp uygulamadığımdan emin olamıyorum.

Answer 1

📐 İki Küp Toplamı Formülü

İki küp toplamı, matematikte sıkça karşılaştığımız ve çarpanlara ayırma işlemlerinde büyük kolaylık sağlayan bir özdeşliktir. Bu ifade, iki terimin küplerinin toplamı şeklindedir ve şu formülle ifade edilir:

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

🧠 Formülün İspatı

Bu formülün doğruluğunu görmek için sağ tarafı çarpma işlemine tabi tutalım:

\( (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot (-ab) + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot (-ab) + b \cdot b^2 \)

\( = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 \)

\( = a^3 + b^3 \) (Benzer terimler birbirini götürdü)

💡 Formülün Kullanımı ve Örnekler

Bu formülü kullanarak iki küp toplamı şeklindeki ifadeleri kolayca çarpanlarına ayırabiliriz:

📝 Örnek 1:

\( x^3 + 8 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Bu ifadeyi \( x^3 + 2^3 \) şeklinde yazabiliriz. Formülümüzde \( a = x \) ve \( b = 2 \) olur.

\( x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \)

📝 Örnek 2:

\( 27a^3 + 64b^3 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım.

Bu ifadeyi \( (3a)^3 + (4b)^3 \) şeklinde yazabiliriz. Formülümüzde \( a = 3a \) ve \( b = 4b \) olur.

\( 27a^3 + 64b^3 = (3a + 4b)(9a^2 - 12ab + 16b^2) \)

🎯 Önemli Noktalar

• ✅ Formül sadece toplama işlemi için geçerlidir
• ✅ Çarpanlardan birinci parantezdeki işaret toplama, ikinci parantezdeki işaretler ise sırasıyla eksi-artı-artı şeklindedir
• ✅ İkinci çarpandaki ifadeye "tam kare olmayan ifade" denir
• ✅ Bu formül, denklem çözümünde ve sadeleştirme işlemlerinde oldukça kullanışlıdır

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• ❌ İki küp farkı formülü ile karıştırmayın: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)
• ❌ İki kare toplamı formülü ile karıştırmayın: \( a^2 + b^2 \) çarpanlara ayrılmaz

🔍 Pratik Uygulama

Bu formülü kullanarak aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırmayı deneyebilirsiniz:

• \( 8x^3 + 27y^3 \)
• \( 125 + a^3 \)
• \( x^6 + y^6 \) (Bu ifadeyi \( (x^2)^3 + (y^2)^3 \) şeklinde düşünün)