İndirgeme formülleri (Trigonometri)

Question

İndirgeme formüllerini hangi trigonometrik değerin hangi işaretle hangi açıya dönüştüğünü karıştırıyorum. 90 ve 270 derece için formüllerin mantığını tam oturtamadım, bir türlü ezberleyemiyorum.

Answer 1

# 📐 İndirgeme Formülleri (Trigonometri) - Ders Notu

🎯 Konuya Giriş ve Önemi

Trigonometride indirgeme formülleri, açıların trigonometrik değerlerini, daha küçük veya daha yönetilebilir açılara indirgemek için kullanılan temel araçlardır. Özellikle \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\), \(360^\circ\) gibi özel açılarla toplam veya fark şeklinde verilen açıların sinüs, kosinüs, tanjant değerlerini, dar açı cinsinden ifade etmemizi sağlarlar. Bu formüller, trigonometrik denklemlerin çözümünde, integral alma işlemlerinde ve fizik problemlerinde sıklıkla karşımıza çıkar.

🧠 Temel Mantık: "Referans Açısı" ve "İşaret Belirleme"

İndirgeme formüllerinin arkasındaki mantık iki adımdan oluşur:

1. 📐 Referans Açısını Bul: Verilen açıyı, trigonometrik değeri bilinen veya hesaplanabilen dar bir açıya indirge.
2. ➕➖ İşareti Belirle: İndirgediğin açının hangi bölgede olduğuna bakarak, trigonometrik fonksiyonun o bölgedeki işaretini (+, -) belirle.

Bu işlem için birim çember ve "**ALL STUDENTS TAKE CALCULUS**" (veya Türkçe: **"Tüm Öğrenciler Tarih Çalışır"**) anımsatıcısı kullanılır. Bu, her bir bölgede hangi trigonometrik fonksiyonların pozitif olduğunu gösterir:

• 1. Bölge (0-90°): All (Hepsi) Pozitif
• 2. Bölge (90-180°): Sinüs (ve kosekant) Pozitif
• 3. Bölge (180-270°): Tanjant (ve kotanjant) Pozitif
• 4. Bölge (270-360°): Cosinüs (ve sekant) Pozitif

📜 Temel İndirgeme Formülleri (Özet Tablo)

Aşağıdaki formüllerde \( \theta \) dar açı (\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)) olarak düşünülür. Formüller radyan cinsinden (\( \pi \)) de yazılabilir (\(90^\circ = \frac{\pi}{2}\), \(180^\circ = \pi\), \(270^\circ = \frac{3\pi}{2}\)).

🔷 \(90^\circ \pm \theta\) ve \(270^\circ \pm \theta\) Formülleri (Çift-Dönüşüm)

• \( \sin(90^\circ - \theta) = +\cos\theta \)
• \( \cos(90^\circ - \theta) = +\sin\theta \)
• \( \sin(90^\circ + \theta) = +\cos\theta \)
• \( \cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta \)
• \( \sin(270^\circ - \theta) = -\cos\theta \)
• \( \cos(270^\circ - \theta) = -\sin\theta \)
• \( \sin(270^\circ + \theta) = -\cos\theta \)
• \( \cos(270^\circ + \theta) = +\sin\theta \)

Kural: \(90^\circ\) veya \(270^\circ\) ekleyip çıkarırken fonksiyon ismi değişir (sin ↔ cos, tan ↔ cot). İşaret, indirgenen açının bulunduğu bölgeye göre belirlenir.

🔷 \(180^\circ \pm \theta\) ve \(360^\circ \pm \theta\) Formülleri (Tek-Dönüşüm)

• \( \sin(180^\circ - \theta) = +\sin\theta \)
• \( \cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta \)
• \( \sin(180^\circ + \theta) = -\sin\theta \)
• \( \cos(180^\circ + \theta) = -\cos\theta \)
• \( \sin(360^\circ - \theta) = -\sin\theta \) (veya \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \))
• \( \cos(360^\circ - \theta) = +\cos\theta \) (veya \( \cos(-\theta) = +\cos\theta \))

Kural: \(180^\circ\) veya \(360^\circ\) ekleyip çıkarırken fonksiyon ismi değişmez. Sadece işaret, açının bulunduğu bölgeye göre belirlenir.

✏️ Tanjant ve Kotanjant İçin

Tanjant, sinüsün kosinüse oranı olduğu için (\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)), yukarıdaki sinüs ve kosinüs formüllerinden türetilebilir.

• \( \tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta \)
• \( \tan(180^\circ + \theta) = +\tan\theta \)
• \( \tan(360^\circ - \theta) = -\tan\theta \)

🧩 Örnek Problemler ve Çözüm Adımları

Örnek 1:

Soru: \( \sin 150^\circ \) değerini bulunuz.

Çözüm:

1. Açıyı \(150^\circ = 180^\circ - 30^\circ\) şeklinde yaz. (Referans açısı \(30^\circ\))
2. \(150^\circ\) 2. bölgededir. 2. bölgede sinüs pozitiftir.
3. \(180^\circ\) çıkarıldığı için fonksiyon ismi değişmez: \(\sin(180^\circ - 30^\circ) = +\sin 30^\circ\)
4. \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) olduğundan, \(\sin 150^\circ = +\frac{1}{2}\)

Örnek 2:

Soru: \( \cos 225^\circ \) değerini bulunuz.

Çözüm:

1. Açıyı \(225^\circ = 180^\circ + 45^\circ\) şeklinde yaz. (Referans açısı \(45^\circ\))
2. \(225^\circ\) 3. bölgededir. 3. bölgede kosinüs negatiftir.
3. \(180^\circ\) eklendiği için fonksiyon ismi değişmez: \(\cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos 45^\circ\)
4. \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\) olduğundan, \(\cos 225^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Örnek 3 (Biraz Daha Karmaşık):

Soru: \( \tan 300^\circ \) değerini bulunuz.

Çözüm:

1. Açıyı \(300^\circ = 360^\circ - 60^\circ\) şeklinde yaz. (Referans açısı \(60^\circ\))
2. \(300^\circ\) 4. bölgededir. 4. bölgede tanjant negatiftir.
3. \(360^\circ\) çıkarıldığı için fonksiyon ismi değişmez: \(\tan(360^\circ - 60^\circ) = -\tan 60^\circ\)
4. \(\tan 60^\circ = \sqrt{3}\) olduğundan, \(\tan 300^\circ = -\sqrt{3}\)

💡 Pratik İpucu ve Son Söz

İndirgeme formüllerini ezberlemektense, birim çemberi ve bölgelerdeki işaret kurallarını çok iyi öğrenmek daha kalıcı ve hatasız çözüm sağlar. Herhangi bir açıyı gördüğünüzde, onu \(90^\circ\), \(180^\circ\), \(270^\circ\), \(360^\circ\)'den birine göre ifade etmeye çalışın. Ardından, açının orijinalinin hangi bölgede olduğunu belirleyip işareti yerleştirin. Bu formüller, trigonometrinin diğer tüm konularında sizin en büyük yardımcınız olacaktır.

Ödev/Alıştırma Önerisi: \(120^\circ\), \(210^\circ\), \(315^\circ\), \(480^\circ\), \( -30^\circ \) açılarının sin, cos ve tan değerlerini indirgeme formülleriyle hesaplayınız.