📐 Kenarortay Teoremi Nedir?
Kenarortay teoremi, bir üçgenin kenarortay uzunluğunu, diğer kenar uzunlukları ile ilişkilendiren önemli bir teoremdir. Özellikle geometri problemlerini çözerken ve üçgenlerin özelliklerini incelerken işimize yarar.
- 📏 Kenarortay: Bir üçgenin bir köşesinden karşı kenarın orta noktasına çizilen doğru parçasına denir.
🧮 Kenarortay Teoremi Formülü
Bir $ABC$ üçgeninde, $BC$ kenarına ait kenarortay $AD$ olsun. Bu durumda, kenarortay teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir:
$2 \cdot (AD^2) = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2}$
Ya da daha sık kullanılan haliyle:
$AB^2 + AC^2 = 2 \cdot (AD^2 + BD^2)$
Burada:
- AB: Üçgenin bir kenar uzunluğu
- AC: Üçgenin diğer kenar uzunluğu
- AD: $A$ köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu
- BD: $BC$ kenarının yarısı (çünkü $D$, $BC$'nin orta noktası)
✍️ Kenarortay Teoremi İspatı
Kenarortay teoremini ispatlamak için Stewart Teoremi'ni kullanabiliriz. Stewart Teoremi, bir üçgenin bir köşesinden karşı kenara çizilen herhangi bir doğru parçasının uzunluğunu hesaplamamıza yardımcı olur.
$ABC$ üçgeninde, $BC$ kenarı üzerinde bir $D$ noktası alalım. $AB = c$, $AC = b$, $BC = a$, $BD = m$, $DC = n$ ve $AD = d$ olsun. Stewart Teoremi'ne göre:
$b^2 \cdot m + c^2 \cdot n = a \cdot (d^2 + m \cdot n)$
Şimdi, $AD$ kenarortay olduğu için $m = n = \frac{a}{2}$'dir. Bu değerleri Stewart Teoremi'nde yerine yazarsak:
$b^2 \cdot \frac{a}{2} + c^2 \cdot \frac{a}{2} = a \cdot (d^2 + \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2})$
Her terimi $a$ ile bölelim:
$\frac{b^2}{2} + \frac{c^2}{2} = d^2 + \frac{a^2}{4}$
Şimdi de her terimi 2 ile çarpalım:
$b^2 + c^2 = 2 \cdot d^2 + \frac{a^2}{2}$
Bu ifadeyi düzenlersek, kenarortay teoremini elde ederiz:
$2 \cdot (AD^2) = AB^2 + AC^2 - \frac{BC^2}{2}$
❓ Kenarortay Teoremi Ne İşe Yarar?
Kenarortay teoremi, geometri problemlerinde aşağıdaki durumlarda işimize yarar:
- 📐 Bir üçgenin kenar uzunlukları ve bir kenarortay uzunluğu verildiğinde, diğer kenarortay uzunluklarını bulmada.
- 📐 Üçgenin belirli özelliklerini (örneğin, ikizkenar olup olmadığını) belirlemede.
- 📐 Daha karmaşık geometri problemlerini çözerken, ara adımlarda kullanılabilecek bir bağıntı sağlamada.
💡 Kenarortay Teoremi Kullanımına Örnek Soru
Bir $ABC$ üçgeninde, $|AB| = 7 \text{ cm}$, $|AC| = 9 \text{ cm}$ ve $BC$ kenarına ait kenarortay uzunluğu $|AD| = 5 \text{ cm}$'dir. Buna göre, $|BC|$ kaç cm'dir?
Çözüm:
Kenarortay teoremini uygulayalım:
$AB^2 + AC^2 = 2 \cdot (AD^2 + BD^2)$
$7^2 + 9^2 = 2 \cdot (5^2 + BD^2)$
$49 + 81 = 2 \cdot (25 + BD^2)$
$130 = 50 + 2 \cdot BD^2$
$80 = 2 \cdot BD^2$
$BD^2 = 40$
$BD = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
$BC = 2 \cdot BD = 4\sqrt{10} \text{ cm}$
🎯 2026 TYT Geometri İçin İpuçları
* 📚 Bol bol pratik yapın. Farklı kaynaklardan soru çözerek, teoremi farklı durumlarda nasıl uygulayacağınızı öğrenin.
* ✍️ Formülleri ezberlemek yerine, mantığını anlamaya çalışın. Bu, problemleri çözerken daha esnek olmanızı sağlar.
* 🧭 Geometri konularını birbiriyle ilişkilendirin. Kenarortay teoremi, üçgenler, benzerlik ve alan gibi konularla bağlantılıdır.
* 🧠 Zorlandığınız soruları mutlaka bir öğretmene veya arkadaşınıza danışın.
* 📅 Düzenli olarak tekrar yapın. Unutmamak için belirli aralıklarla konuları tekrar gözden geçirin.
